22. Bir kapta yaşayan bakteri sayısının t (saat) zamana bağlı değişim formülü (t³ + 2t² + 19)/(t + 1) şeklindedir. Buna göre bu kapta bakteri sayısı 4. saatte ne kadar artmıştır?

YKS TYT
1

image
image720×960 52.7 KB

2

Bakteri Sayısının Zamanla Değişimi Sorusu Çözümü

Önemli Noktalar

  • Verilen fonksiyon:
    f(t) = \frac{t^3 + 2t^2 + 19}{t + 1}
  • Soru: 4. saatte bakterinin sayısı ne kadar artmıştır?
  • Artış, fonksiyonun 4 ve 3 anlarındaki değer farkı olarak hesaplanır:
    \Delta f = f(4) - f(3)

Fonksiyonun 4. saatteki değerini ve 3. saatteki değerini yerine koyup hesaplayalım:

f(4) = \frac{4^3 + 2 \times 4^2 + 19}{4 + 1} = \frac{64 + 32 + 19}{5} = \frac{115}{5} = 23
f(3) = \frac{3^3 + 2 \times 3^2 + 19}{3 + 1} = \frac{27 + 18 + 19}{4} = \frac{64}{4} = 16

Artış:

23 - 16 = 7

Sonuç: Bakteri sayısı 4. saatte 7 kadar artmıştır.

Özet Tablo

İşlem Değer
f(4) 23
f(3) 16
Artış f(4) - f(3) 7

Sık Sorulan Sorular

1. Neden önce f(4) ve f(3) hesaplandı?
Bakteri sayısındaki artış, belli iki zaman noktası arasındaki farktır. Burada 4. saatte artış istendiği için önce 4. ve 3. saatlerdeki bakteri sayıları hesaplanır.

2. Fonksiyonun türevi kullanılabilir mi?
Evet, artış yaklaşık olarak türevle de bulunabilir. Ama burada tam artış istendiği için direkt değerler arasındaki fark tercih edilir.

3. Fonksiyonun tanımlı olmadığı değer var mı?
Payda t+1 olan fonksiyon, t=-1 için tanımsızdır. Ancak soru 4. ve 3. saatler için olduğu için problem yoktur.

Sonraki Adımlar

Bu tür rasyonel fonksiyonlarda türev ve limit hesaplarını çalışmak ister misiniz? Yoksa benzer problemlerle ilerleyelim mi?

@djszjsldkskckskdjen

3

22. Bir kapta yaşayan bakteri sayısının t (saat) zamana bağlı değişim formülü (t³ + 2t² + 19)/(t + 1) şeklindedir. Buna göre bu kapta bakteri sayısı 4. saatte ne kadar artmıştır?

Önemli Noktalar

  • Formülde t yerine 4 ve 3 yazılarak N(4) ve N(3) hesaplanır.
  • Artış miktarı türev değil, ΔN = N(4) - N(3) farkıyla bulunur.
  • Sonuç 7 olarak E şıkkındadır.

Doğru Yanıt: 7

İçindekiler

  1. Ayrıntılı Çözüm
  2. Karşılaştırmalı Yöntemler
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

1. Ayrıntılı Çözüm

Bakteri sayısı fonksiyonu

N(t) = \frac{t^3 + 2t^2 + 19}{t + 1}

olarak veriliyor. 4. saatteki artışı bulmak için

ΔN = N(4) - N(3).

Adım adım:

  1. N(4) = \dfrac{4^3 + 2\cdot4^2 + 19}{4 + 1} = \dfrac{64 + 32 + 19}{5} = \dfrac{115}{5} = 23.
  2. N(3) = \dfrac{3^3 + 2\cdot3^2 + 19}{3 + 1} = \dfrac{27 + 18 + 19}{4} = \dfrac{64}{4} = 16.
  3. ΔN = 23 - 16 = 7.

2. Karşılaştırmalı Yöntemler

Özellik Fark Yöntemi (ΔN) Türev Yöntemi (N'(t))
Uygunluk Kesikli zaman dilimlerinde Anlık değişim hızını bulur
Formül N(4)-N(3) \displaystyle\frac{(t^3+2t^2+19)'(t+1)-(t^3+2t^2+19)\cdot1}{(t+1)^2}
Sonuç 7 8{,}2 (saate birim başına)
Soru tipine uygunluk Bu soruda doğru tercih Sorumuz türev değil fark sorusu

3. Özet Tablosu

Adım İşlem Sonuç
N(4) hesabı (4^3+2\cdot4^2+19)/(5) 23
N(3) hesabı (3^3+2\cdot3^2+19)/(4) 16
Artış miktarı N(4)-N(3) 7
Doğru şık E şıkkı 7

4. SSS

S1. “Ne zaman türev, ne zaman fark kullanılır?”
C1. Anlık hız için türev, iki zaman noktası arasındaki değişim için fark kullanılır.

S2. Bölme işlemi yaparken nelere dikkat etmeliyim?
C2. Pay ve paydanın tanımlı olduğu değerlere bakın; burada t\neq -1 koşulu vardır.

S3. Bu soruda türev sorusu olsaydı hangi adımı eklerdik?
C3. Bölüm kuralı (quotient rule) uygulayıp N'(4) bulurduk; o durumda sonuç 8{,}2 olurdu.

Bu çözüm anlaşılır oldu mu? Benzer bir problemle pratik yapmak ister misin? @djszjsldkskckskdjen