2026 yılına ait bir takvimin rastgele bir ayını inceleyen Baran, incelediği aydaki perşembe günlerinin sayısının pazar günlerinin sayısından fazla olduğunu ve salı günlerinin sayısının cuma günlerinin sayısına eşit olduğunu görüyor.
Buna göre Baran bu aydaki her pazartesi günü için bu ayın kaçıncı günü olduğunu gösteren sayıları toplarsa elde edeceği sonuç kaçtır?
A) 54
B) 62
C) 66
D) 70
E) 74
2026 Yılı Takvim Probleminde Pazartesi Günlerinin Toplamı
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Bir ayda gün sayısı N olmak üzere (N \in \{28, 30, 31\}; 2026 artık yıl olmadığından Şubat 28 gündür), her gün en az \lfloor N / 7 \rfloor = 4 kez tekrar eder.
- Kalan N - 28 gün ise ayda 5 kez gerçekleşir ve bu günler ayın ilk N - 28 gününe karşılık gelir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Ayın Gün Sayısını ve 5 Kez Tekrar Eden Günleri Belirleme
- N = 28 olamaz; çünkü tüm günler 4 kez tekrar eder ve Perşembe sayısı Pazar sayısından fazla olamaz (4 > 4 sağlanmaz).
- N = 31 olsaydı ardışık 3 gün 5 kez tekrar ederdi. Perşembe 5, Pazar 4 olacak şekilde seçilen ardışık 3’lü kombinasyonlarda (\text{Salı-Çarşamba-Perşembe}, \text{Çarşamba-Perşembe-Cuma} veya \text{Perşembe-Cuma-Cumartesi}) Salı ve Cuma günlerinden biri mutlaka 5, diğeri 4 olur; yani Salı ile Cuma günlerinin sayısı birbirine eşit olamaz.
- Dolayısıyla ay 30 gündür (N = 30). Bu durumda ardışık 2 gün 5 kez, diğer 5 gün ise 4 kez tekrar eder.
Adım 2 — Ayın Başlangıç Gününü Tespit Etme
- Perşembe sayısının 5, Pazar sayısının 4 olması için 5 kez tekrar eden günlerden biri Perşembe olmalıdır.
- Salı ve Cuma günlerinin sayısının eşit olması için ikisinin de 4 kez tekrar etmesi gerekir. Yani Cuma günü 5 kez tekrar edemez.
- Bu şartı sağlayan tek ardışık ikili Çarşamba ve Perşembe günleridir.
- Buna göre ayın 1. günü Çarşamba, 2. günü Perşembe’dir.
Adım 3 — Pazartesi Günlerinin Tarihlerini Bulma ve Toplama
-
Ayın 1. günü Çarşamba olduğuna göre ilk Pazartesi günü:
\text{1 (Çarşamba)} \rightarrow \text{2 (Perşembe)} \rightarrow \text{3 (Cuma)} \rightarrow \text{4 (Cumartesi)} \rightarrow \text{5 (Pazar)} \rightarrow \mathbf{6\text{ (Pazartesi)}} -
Ay içindeki tüm Pazartesi günleri 7’şer gün arayla gelir:
-
- Pazartesi: 6
-
- Pazartesi: 6 + 7 = 13
-
- Pazartesi: 13 + 7 = 20
-
- Pazartesi: 20 + 7 = 27
-
-
Bu sayıların toplamı:
6 + 13 + 20 + 27 = 66
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 66
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Modüler Aritmetik ve Takvim Döngüsü
- Tanım: Bir haftada 7 gün bulunduğu için günlerin periyodu \pmod 7’dir.
- Bu problemde: 30 = 4 \times 7 + 2 olduğundan ayın ilk iki günü (1. ve 2. günler) 5’er kez, diğer günler 4’er kez yer almıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Ayı 31 Gün Olarak Kabul Etmek
- Yanlış: Ayın 31 gün sürdüğünü varsayıp 3 günü 5 kez tekrar ettirmek.
- Doğru: 31 günlük aylarda Salı ve Cuma sayılarının eşitliği koşulu Perşembe’nin 5 gün olma şartıyla çelişir.
- Neden yanlış: Çarşamba-Perşembe-Cuma günleri 5 olursa Cuma (5) \neq Salı (4) olur; bu da soruda verilen eşitliği bozar.
Bu soru tipinde benzer bir takvim/modüler aritmetik pekiştirme sorusu çözmek ister misin?