20 kişinin katıldığı bir sınavda adayların cinsiyetlerine göre sınav ortalamaları ve genel ortalama aşağıda verilmiştir.
| Kız | Erkek | Genel | |
|---|---|---|---|
| Sınav Ortalaması | 8 | 6 | 6,8 |
| Buna göre, sınava kaç kız öğrenci katılmıştır? | |||
| Çözüm: |
Sınava Katılan Kız Öğrenci Sayısının Bulunması
KULLANILAN FORMÜL:
\text{Aritmetik Ortalama} = \frac{\text{Puanlar Toplamı}}{\text{Kişi Sayısı}} \implies \text{Toplam Puan} = \text{Ortalama} \times \text{Kişi Sayısı}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişkenleri Tanımlama
- Toplam öğrenci sayısı: 20
- Kız öğrenci sayısı: k olsun.
- Erkek öğrenci sayısı: 20 - k olur.
Adım 2 — Genel Toplam Puanı Bulma
- Tüm grubun (20 kişinin) genel ortalaması 6,8 olduğuna göre:
\text{Genel Toplam Puan} = 20 \times 6,8 = 136
Adım 3 — Kız ve Erkeklerin Puan Toplamlarını İfade Etme
- Kızların puan toplamı: 8 \times k = 8k
- Erkeklerin puan toplamı: 6 \times (20 - k) = 120 - 6k
Adım 4 — Denklemi Kurma ve Kız Öğrenci Sayısını Hesaplama
- Kızların ve erkeklerin puanları toplamı, genel toplam puana eşittir:
8k + (120 - 6k) = 136
2k + 120 = 136
2k = 136 - 120
2k = 16
k = 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: Sınava katılan kız öğrenci sayısı 8’dir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ağırlıklı Ortalama (Grup Ortalaması)
- Tanım: Farklı sayıdaki alt grupların ortalamaları birleştirilirken, her grubun eleman sayısı ağırlık katsayısı olarak kullanılır.
- Bu problemde: Kızların ortalaması ile erkeklerin ortalaması, kişi sayılarına göre ağırlıklandırılarak genel ortalama olan 6,8 elde edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Ortalamaların Doğrudan Aritmetik Ortalamasını Almak
- Yanlış: Kızların ortalaması (8) ile erkeklerin ortalamasını (6) toplayıp ikiye bölerek genel ortalamayı \frac{8+6}{2} = 7 olarak varsaymak.
- Doğru: Genel ortalama ancak kız ve erkek sayıları eşit (10 kız, 10 erkek) olduğunda 7 çıkar. Sayılar farklı olduğunda toplam puan üzerinden denklem kurulmalıdır.
- Neden yanlış: Kişi sayıları eşit olmadığında grupların genel ortalamaya etkisi eşit olmaz.
Bu soru tipini pekiştirmek için benzer bir ağırlıklı ortalama sorusu çözmemi ister misin?