20, a pozitif, b negatif tam sayı olmak üzere x2- ax + b + 2b-3=0 denklemini sağlayan x değerleri birer tam sayı ve bu değerlerin çarpımi bir asal sayıdır. Buna göre a + btoplamı kaçtır? A)-1 B) 0 C)1 D) 2 E) 3
!Resim [Link Silindi]
20, a pozitif, b negatif tam sayı olmak üzere x^2 - ax + b^2 + 2b - 3 = 0 denklemini sağlayan x değerleri birer tam sayı ve bu değerlerin çarpımı bir asal sayıdır. Buna göre a + b toplamı kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Bir ikinci dereceden denklemin kökleri toplamı ve çarpımı:
Eğer denklem x^2 + px + q = 0 ise köklerin toplamı -p, çarpımı q olur. - Kökler tam sayı ise katsayılar tam sayı olur ve köklerin çarpımı, asal sayı olunca bir kök mutlaka ±1 olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Denklemin köklerinin toplamı ve çarpımını yaz
Denklem:
x^2 - ax + (b^2 + 2b - 3) = 0
Kökler:
x_1 + x_2 = a \quad, \quad x_1 x_2 = b^2 + 2b - 3
Adım 2 — Köklerin tam sayı ve çarpımlarının asal sayı olması durumu
- Kökler tam sayıdır.
- Çarpımları b^2 + 2b -3 bir asal sayıdır.
- Asal sayılar pozitif tam sayı olmak zorundadır (bazı tanımlarda negatif asal yoktur).
- b negatif tam sayı olduğundan, b^2 pozitiftir.
Adım 3 — b^2 + 2b - 3 ifadesini incelenmesi
b^2 + 2b -3 = (b+3)(b-1) çarpanlara ayrılır.
Adım 4 — Asal sayı olabilmesi için (b+3)(b-1)'in asal olması gerekir
- Bir sayının asal olması için, pozitif ve sadece 1 ve kendisine bölünebilmesi gerekir.
- Çarpanlar b+3 ve b-1 tam sayılar.
- Asal sayı çarpanlara ayrılmaz, dolayısıyla ya b+3 = \pm 1 ya da b-1 = \pm 1 olmalı.
Adım 5 — Olasılıkları inceleyelim
-
b + 3 = 1 \Rightarrow b = -2
Bu durumda b-1 = -3, çarpım: 1 \times (-3) = -3 negatif asal sayı değildir. -
b + 3 = -1 \Rightarrow b = -4
b-1 = -5 çarpım: (-1) \times (-5) = 5 pozitif asal. -
b - 1 = 1 \Rightarrow b = 2 (ama b negatif tam sayıydı, çelişki)
-
b - 1 = -1 \Rightarrow b = 0 (b negatif olmalı, çelişki)
Buna göre sadece b = -4 uygun.
Adım 6 — b = -4 için a’yı bul
- Köklerin çarpımı b^2 + 2b -3 = (-4)^2 + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 (asal, uygun)
- Köklerin çarpımı 5 ise asal sayı koşulu sağlandı.
Adım 7 — Köklerin toplamı a
-
Köklerin toplamı a ve kökler tam sayı.
-
Kökler çarpımı 5 ise kökler 1 ve 5 veya -1 ve -5 olabilir.
-
Ancak a = x_1 + x_2 ve a pozitif tam sayı olmalı.
-
x_1 + x_2 = a
-
Kökler 1 ve 5 ise a = 6 olur.
Bu durumda a=6, b=-4.
Adım 8 — Sonuç
a + b = 6 + (-4) = 2
CEVAP: D) 2
TEMEL KAVRAMLAR:
-
İkinci Dereceden Denklemin Kökleri
- Toplamı: -\frac{b}{a}
- Çarpımı: \frac{c}{a}
-
Asal Sayı
- Pozitif, sadece 1 ve kendisine bölünebilen sayı.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
20, a pozitif, b negatif tam sayı olmak üzere x^{2}-ax+b^{2}+2b-3=0 denklemini sağlayan x değerleri birer tam sayı ve bu değerlerin çarpımı bir asal sayıdır. Buna göre a+b toplamı kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Vieta: Bir monik ikinci dereceden denklem x^{2}+px+q=0 için köklerin çarpımı q’dur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Köklerin çarpımını ifade et
Denklemde köklerin çarpımı
p = b^{2}+2b-3
Adım 2 — b negatif olduğu için b=-k (k pozitif tam sayı) al
Başlangıç ifadesi:
p = b^{2}+2b-3
Yerine koy:
p = (-k)^{2}+2(-k)-3
Her adımı ayır:
= k^{2}-2k-3
Çarpanlarına ayır:
= (k-3)(k+1)
Adım 3 — (k-3)(k+1) bir asal sayı ise faktörlerden birinin 1 olması gerekir
Çünkü k+1>0 olduğundan her iki çarpan pozitif olabilir; asal sayı olması için küçük çarpanın 1 olması gerekir.
Buna göre:
k-3=1
ve
k=4
Adım 4 — k=4 ise b=-k=-4 ve p=(k-3)(k+1)=1\cdot5=5
Hesaplama:
b=-4
ve
p=5
Adım 5 — Köklerin tam sayı ve çarpımları 5 olduğuna göre kökler 1 ile 5 olmalıdır (−1 ve −5 toplamı negatif olur, a pozitif olmalı)
Kökler:
x_{1}=1
ve
x_{2}=5
Toplamları (Vieta göre):
a = x_{1}+x_{2}
Hesaplama:
a = 1+5
Sonuç:
a = 6
Adım 6 — a+b toplamını bul
Hesaplama:
a+b = 6+(-4)
Hesaplama:
a+b = 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Vieta
- Tanım: Monik ikinci dereceden denklemde köklerin toplamı ve çarpımı katsayılarla ilişkilidir.
- Bu problemde: Köklerin çarpımı sabit terim b^{2}+2b-3 olarak kullanıldı.
- Çarpanlara ayırma
- Tanım: Bir ifadeyi çarpanlara açma işlemi.
- Bu problemde: k^{2}-2k-3=(k-3)(k+1) olarak çarpanlara ayrıldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
İşaret hatası
- Yanlış: b negatif iken b=-k yerine doğrudan pozitif kabul etmek.
- Doğru: b=-k alınıp işaretler doğru şekilde yerine konulmalı.
- Neden yanlış: İşaret yanlış alınırsa çarpanlara ayırma ve sonuç hatalı olur.
- Düzeltme: b negatifse açıkça b=-k yaz ve hesapları ona göre yap.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!