- 2^x = 6 olduğuna göre, 4^{x}+1 ifadesinin değeri kaçtır?
A) 36
B) 48
C) 72
D) 100
2^x = 6 olduğuna göre 4^{x+1} İfadesinin Değeri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Üslü ifadelerde toplama kuralı: a^{m+n} = a^m \cdot a^n
- Üssün üssü kuralı: (a^m)^n = (a^n)^m = a^{m \cdot n}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İfadeyi Çarpanlarına Ayırma
İstenen 4^{x+1} ifadesini tabanları aynı olacak şekilde çarpanlarına ayıralım:
4^{x+1} = 4^x \cdot 4^1 = 4^x \cdot 4
Adım 2 — 4^x İfadesini 2^x Cinsinden Yazma
4 = 2^2 olduğundan üssün üssü kuralını uygulayarak 2^x ifadesini elde edelim:
4^x = (2^2)^x = (2^x)^2
Adım 3 — Verilen Değeri Yerine Koyma
Soruda bize 2^x = 6 olarak verilmiştir. Bu değeri denklemde yerine yazalım:
4^x = (6)^2 = 36
Adım 4 — Sonucu Hesaplama
Bulduğumuz 4^x = 36 değerini birinci adımdaki ifadede yerine yazalım:
4^{x+1} = 4^x \cdot 4 = 36 \cdot 4 = 144
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 144 (E seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Üssün Üssü Özelliği
- Tanım: Bir üslü sayının tekrar üssü alındığında üsler çarpılır: (a^m)^n = a^{m \cdot n}.
- Bu problemde: (2^2)^x = (2^x)^2 dönüşümü yapılarak bilinen 2^x = 6 değeri doğrudan yerine yazılmıştır.
2. Tabanı Aynı Olan Üslü Sayıların Çarpımı
- Tanım: a^m \cdot a^n = a^{m+n} eşitliği tersten de işletilebilir (a^{m+n} = a^m \cdot a^n).
- Bu problemde: 4^{x+1} ifadesi 4^x \cdot 4^1 şeklinde ayrılarak işlem kolaylığı sağlanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
4^{x+1} ifadesini (4^x) + 1 olarak algılamak
- Yanlış: 4^x + 1 = 36 + 1 = 37
- Doğru: 4^{x+1} = 4^x \cdot 4^1 = 36 \cdot 4 = 144
- Neden yanlış: +1 ifadesi tabanda değil, üs kısmındadır; bu nedenle toplama değil üslü sayılarda çarpma kuralı uygulanmalıdır.
4^x \cdot 4 çarpımında 4 yerine tabanları çarpmaya çalışmak
- Yanlış: 6^2 \cdot 6^2 = 12^2 = 144 şeklinde ilgisiz taban eşitlemeleri yapmak
- Doğru: 4^x = 36 bulunduktan sonra sadece 36 \cdot 4 = 144 işlemi yapılmalıdır.
- Neden yanlış: Çarpılan ikinci sayı 4^x değil, sabit 4 sayısıdır.
Üslü sayılarda taban ve üs dönüşümleri ile ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?