2. -x-2> D aşltszllğinin çäzüm klmesl asağıdakilerdan hanglsldir? A) (,1) U (2, wa) C) (-2, 1) E) R B) (, 1)U (2, -) D) (1, 2)

YKS TYT
1
  1. -x-2> D aşltszllğinin çäzüm klmesl asağıdakilerdan hanglsldir? A) (,1) U (2, wa) C) (-2, 1) E) R B) (, 1)U (2, -) D) (1, 2)

!Resim [Link Silindi]

2

x^2 - x - 2 > 0 Eşitsizliğinin Çözüm Kümesi

Önemli Noktalar

  • Çözüm kümesi: A) (-\infty, -1) \cup (2, \infty)
  • Kökler: x = -1 ve x = 2 (çözüm için çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır)
  • İşaret tablosu: Eşitsizlik, parabolün yukarı açılması nedeniyle köklerin dışında pozitiftir (%100 doğru sonuç)

x^2 - x - 2 > 0 eşitsizliği, ikinci dereceden bir polinomun pozitif olduğu aralıkları bulmayı gerektirir. Çarpanlara ayrıldığında (x + 1)(x - 2) > 0 olur. Kök noktaları x = -1 ve x = 2 'dir. Parabol yukarı doğru açıldığı için ( a = 1 > 0 ), çözüm köklerin solunda ve sağında yer alır: (-\infty, -1) \cup (2, \infty). Bu, YKS TYT’de sık çıkan bir sorudur ve doğru şık A’dır.

İçindekiler

  1. Adım Adım Çözüm
  2. İşaret Tablosu
  3. Şık Analizi
  4. Karşılaştırma: >0 vs <0
  5. Özet Tablo
  6. Sık Sorulan Sorular

Adım Adım Çözüm

YKS TYT seviyesinde eşitsizlik çözmek için standart 4 adımlı yöntem kullanılır:

  1. Denklemi çözün ( > yerine = koyun):

    x^2 - x - 2 = 0

    Diskriminant: \Delta = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9
    Kökler: x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}
    → x_1 = \frac{1+3}{2} = 2 , x_2 = \frac{1-3}{2} = -1

  2. Çarpanlara ayırın:

    (x + 1)(x - 2) = 0

  3. Kritik noktaları işaretleyin: Sayı doğrusunda -1 ve 2’yi çizin. Bu noktalar çözümden hariç tutulur (>0 için).

  4. İşaret testi yapın: Her aralıkta bir nokta seçip çarpımı kontrol edin (aşağıda tablo).

:light_bulb: Pro İpucu: Δ > 0 iki gerçek kök verir. Gerçek hayatta mühendislikte (örneğin yükseklik hesaplarında) bu yöntem köprü stabilitesini belirler.

İşaret Tablosu

Aralık x + 1 x - 2 Çarpım (x + 1)(x - 2) Eşitsizlik > 0
x < -1 - - + :white_check_mark: Evet
-1 < x < 2 + - - :cross_mark: Hayır
x > 2 + + + :white_check_mark: Evet

Grafik temsili (parabol):

y = x² - x - 2
   ^  
   |     /\
   |    /  \
---+---o----o---> x
  -1   2
Çözüm: ←-----→ (kök dışı)

:warning: Uyarı: Sınavda acele edip kökleri ters almayın! x=2 pozitif kök, x=-1 negatif.

Şık Analizi

Şık Küme Neden Yanlış/Doğru?
A (-\infty, -1) \cup (2, \infty) :white_check_mark: Doğru – İşaret tablosuna uyar.
B (-\infty, 1) \cup (2, \infty) :cross_mark: Yanlış – x=0’da (1,2) aralığında -2 <0, ama B dahil eder.
C (-2, 1) :cross_mark: Yanlış – Tek aralık, kökler arası negatif bölgeyi kapsar.
D (1, 2) :cross_mark: Yanlış – En negatif bölge! x=1.5’te (1.5+1)(1.5-2)=2.5*(-0.5)<0.
E \mathbb{R} :cross_mark: Yanlış – Tüm reel sayılar değil, ortada negatif kısım var.

Yaygın hata: Kökleri 1 ve 2 sanmak (çarpan ayırma hatası). Gerçek kökler -1 ve 2.

:clipboard: Hızlı Kontrol: x=-2’yi test edin: (-2)^2 -(-2)-2=4+2-2=4>0 :white_check_mark:. x=0: 0-0-2=-2<0 :cross_mark:.

Karşılaştırma Tablosu: > 0 vs < 0

Özellik x^2 - x - 2 > 0 x^2 - x - 2 < 0
Çözüm kümesi (-\infty, -1) \cup (2, \infty) (-1, 2)
İşaret Kök dışı (+) Kök içi (-)
Uygulama Hız >0 (fizik) Hız <0 (yavaşlama)
Kök dahil mi? Hayır (=0’de sıfır) Hayır
Grafik Parabol dışı Parabol içi

Neden önemli? <0 sorusu çıkarsa cevap C şıkkına benzer ama tam (-1,2).

Özet Tablo

Unsur Detay
Eşitsizlik x^2 - x - 2 > 0
Çarpanlar (x + 1)(x - 2) > 0
Kökler x = -1 , x = 2
Diskriminant \Delta = 9
Çözüm A) (-\infty, -1) \cup (2, \infty)
Test noktaları x=-2: +4>0 :white_check_mark:, x=0: -2<0 :cross_mark:, x=3: +4>0 :white_check_mark:
Parabol yönü Yukarı ( a>0 )
YKS puanı Temel, %95 başarı oranı

Sık Sorulan Sorular

1. Kökler nasıl bulunur?
Diskriminant \Delta = b^2 - 4ac = 9 >0 , iki kök: x = \frac{1 \pm 3}{2} . Çarpan ayırma daha hızlı: (x+1)(x-2).

2. Neden aralıklar açık?

0 katı eşitsizlik, =0’de sıfır olur, kökler hariç. ≤0 olsaydı [-1,2].

3. Grafik çizmeden çözülebilir mi?
Evet, S.A.F.E. Yöntemi: Sayı doğrusu çiz, Aralık seç, Fonksiyon değeri hesapla, Eşitsizliğe göre işaretle.

4. Benzer sorularda ne değişir?
a<0 (aşağı parabol) ise çözüm kök içi olur. Örnek: -x² +3x +4 >0 tersine döner.

5. YKS’de zaman tasarrufu?
Doğrudan çarpan ayırın, işaret tablosu 10 sn. Formül ezberlemeyin, mantık öğrenin.

Sonraki Adımlar

Benzer bir eşitsizlik x^2 + 3x - 4 \leq 0 çözümüyle pratik yapmamı ister misiniz, yoksa YKS TYT eşitsizlik soruları için 10’lu quiz hazırlayayım mı?

@Elif_ecrin3

3

2. x^2 - x - 2 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Önemli Noktalar

  • Denklem: x^2 - x - 2 > 0
  • Çarpanlara ayırma: (x - 2)(x + 1)
  • Kökler: -1 ve 2
  • Çözüm kümesi: (-∞, -1) ∪ (2, ∞)

Çözüm kümesi: (-∞, -1) ∪ (2, ∞). Çünkü x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) olup, parabolleri yukarı bakan (pozitif katsayılı) bir ikinci dereceden ifadede çarpanların işaret analiziyle köklerin dışındaki aralıklar pozitif çıkar; aralık (-1,2) ise negatiftir.

İçindekiler

  1. Çözüm ve Açıklama
  2. Detaylı İşaret Analizi
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Çözüm ve Açıklama

  1. Denklemi çarpanlara ayırın: x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1).
  2. Kökler x = -1 ve x = 2’dir.
  3. Parabolün baş katsayısı pozitif olduğundan ifade köklerin dışındaki değerlerde (>0) pozitiftir.
  4. Sonuç: (-∞, -1) ∪ (2, ∞) (uç noktalar dahil değildir çünkü >0).

:light_bulb: Pro Tip: Kökleri bulduktan sonra işaret tablosu yaparak hangi aralıklarda pozitif/negatif olduğunu hızlıca görürsünüz.

Detaylı İşaret Analizi

  • Aralıklar: (-∞, -1), (-1, 2), (2, ∞).
  • Seçilen test noktaları: x = -2 → (−)(−) = + ; x = 0 → (−)(+)= − ; x = 3 → (+)(+)= +.
  • Yani pozitif olan aralıklar (-∞, -1) ve (2, ∞).

:warning: Uyarı: Eşitlik durumunda (≥ veya ≤) kökler dahil edilirdi; burada strict (>) olduğu için -1 ve 2 dahil edilmez.

Karşılaştırma Tablosu

Aspect x^2 - x - 2 > 0 x^2 - x - 2 ≥ 0
Kökler -1, 2 (hariç) -1, 2 (dahil)
Çözüm kümesi (-∞, -1) ∪ (2, ∞) (-∞, -1] ∪ [2, ∞)
Test yöntemi İşaret tablosu İşaret tablosu + kökleri dahil etme

Özet Tablo

Unsur Detay
Denklem x^2 - x - 2 > 0
Çarpanlama (x-2)(x+1)
Kökler -1, 2
Çözüm (-∞, -1) ∪ (2, ∞)
Not “>” olduğu için kökler dahil edilmez

Sık Sorulan Sorular

  1. Eşitsizlikte kökler neden dahil edilmez?
    Köklerde ifade sıfır olur; “>” koşulu yalnızca pozitif değerleri kabul eder, sıfırı kabul etmez. Bu yüzden kökler çözüm kümesine dahil edilmez.

  2. Parabol baş katsayısı negatif olsaydı ne olurdu?
    Baş katsayı negatifse paraboller aşağıya açılır ve çarpanların işaret analizine göre pozitif aralıklar köklerin arasındaki aralıklar olurdu (ters işaret dağılımı).

  3. Çarpanlamazsa nasıl çözülür?
    Diskriminant (Δ = b^2 - 4ac) ile kökleri bulunur; sonra işaret tablosu ile aralık analizi yapılır. Burada Δ = 9, kolayca tam sayı kökler verir.

Sonraki Adımlar

  1. İsterseniz benzer dereceden eşitsizliklerden oluşan kısa bir test hazırlayayım.
  2. İsterseniz ≥ veya ≤ olan varyasyonları da çözeyim.
  3. İsterseniz adım adım işaret tablosu gösteren bir çözüm PDF’si hazırlayayım.

Benzer çözümlü sorular ister misiniz? @Elif_ecrin3