2. |x − 13| + |13 − x| = 98 denkleminin köklerinin toplamı ve 3. |x − 7| = |2x + 8| denkleminin çözüm kümesi nedir?

YKS TYT
1

IMG_2493
IMG_2493720×1280 53 KB

2

Mutlak Değerli Denklem Çözümü ve x Değerlerinin Toplamı

Önemli Noktalar

  • Mutlak değer ifadesi, pozitif ve negatif durumlar için ayrı ayrı ele alınır.
  • Denklemin her iki tarafında da mutlak değer barındıran ifadelerde dikkatli parantez açma ve değer aralıkları belirleme gereklidir.
  • Verilen denklemde |x - 13| + |13 - x| ifadesi, mutlak değer özelliği nedeniyle sadeleşir ve çözüme kolaylık sağlar.

Verilen denklem:

|x - 13| + |13 - x| = 98

Burada, mutlak değer özellikleri sayesinde:
$$|x - 13| = |13 - x|$$ olduğundan denkleme baktığımızda:

|x - 13| + |x - 13| = 2|x - 13| = 98

Buradan:

|x - 13| = \frac{98}{2} = 49

Yani:

  1. x - 13 = 49 \Rightarrow x = 62
  2. x - 13 = -49 \Rightarrow x = -36

Çözümler x = 62 ve x = -36 olarak bulunur.

Bu iki x değerinin toplamı:

62 + (-36) = 26

Bu da şıklarda D seçeneğine karşılık gelmektedir.

İçindekiler

  1. Mutlak Değerli Denklemin Temel Özellikleri
  2. Verilen Denklemin Adım Adım Çözümü
  3. Sonuç ve Toplama İşlemi
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Mutlak Değerli Denklemin Temel Özellikleri

Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığıdır ve her zaman sıfır ya da pozitif bir değerdir. Matematiksel olarak:

  • |a| = a, eğer a \geq 0
  • |a| = -a, eğer a < 0

Özellikle iki mutlak değerin toplamı işlendiğinde, ifadelerin birbirine eşit olması ve mutlak değer simetrisi (örneğin |x - 13| ve |13 - x|) sayesinde sadeleşmeler olur.

:light_bulb: Pro Tip: Mutlak değer ifadelerinde benzer ifadelerin toplamı varsa, bazen toplamları çarpan şeklinde sadeleşebilir. Bu tür durumlarda mutlak değerlerin içeriklerine değil, eşdeğerliklerine odaklanmak zamanı çok kazandırır.

2. Verilen Denklemin Adım Adım Çözümü

Denklem:

|x - 13| + |13 - x| = 98

Adım 1: Mutlak değerlerin eşitliğini fark et.
|x - 13| = |13 - x| olduğundan, denklemi şu şekilde yazabiliriz:

|x - 13| + |x - 13| = 98 \implies 2|x - 13| = 98

Adım 2: Denklemi sadeleştir:

|x - 13| = \frac{98}{2} = 49

Adım 3: Mutlak değer denklemi iki durum içerir:

  • x - 13 = 49 \rightarrow x = 62
  • x - 13 = -49 \rightarrow x = -36

3. Sonuç ve Toplama İşlemi

Çözümler:

  • x_1 = 62
  • x_2 = -36

Toplamları:

62 + (-36) = 26

Doğru cevap: D) 26

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
Mutlak değer özelliği ( x-13
Denklemin sadeleşmesi (2 x-13
Çözüm (pozitif durum) x-13=49 x=62
Çözüm (negatif durum) x-13=-49 x=-36
x değerleri toplamı 62 + (-36) 26

Sık Sorulan Sorular

1. |x - a| ve |a - x| ifadeleri neden eşittir?
Çünkü mutlak değer, sayının işaretinden bağımsız büyüklüğünü ölçer ve |x - a| = |a - x| mutlak değerin temel simetri özelliğidir.

2. Mutlak değer denklemlerinde iki mi yoksa daha fazla çözüm çıkabilir mi?
Evet, mutlak değerli denklemler genellikle iki çözüm içerir, ancak denklem yapısına bağlı olarak daha fazla veya hiç çözüm olmayabilir.

3. Mutlak değer denklemleri nasıl daha karmaşık hâle gelebilir?
Birden fazla mutlak değerli ifade varsa veya eşitsizlik söz konusuysa, çözüm kümeleri daha karmaşık durumlara dönüşebilir. Bu durumda farklı aralıklar için tek tek inceleme yapılır.

Sonraki Adımlar

Daha fazla mutlak değerli denklem örneği ve çözümlerini ister misiniz? Ya da benzer problem tipleriyle ilgili detaylı çalışma rehberi hazırlamamı ister misiniz?

@Tugce_Soylu

3

2. |x − 13| + |13 − x| = 98 denkleminin köklerinin toplamı ve 3. |x − 7| = |2x + 8| denkleminin çözüm kümesi nedir?

• |a|+|a| = 2|a| kuralı mutlak değerli toplamları sadeleştirmede önemli.
• Mutlak değer eşitliklerini çözmek için koşulları inceleyebilir veya her iki tarafı karesini alarak diskriminant formülüyle ilerleyebilirsiniz.
• Köklerin toplamı, bulunan çözümlerin doğrudan toplanmasıyla elde edilir.

Soru 2 için 2|x−13|=98 ⇒ x=62 veya x=−36 ve köklerin toplamı 26’dır (D).
Soru 3 için x=−15 veya x=−1/3 olduğundan doğru seçenek A.

İçindekiler

  1. Soru 2 Çözümü
  2. Soru 3 Çözümü
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Soru 2 Çözümü

Denklem:

|x-13| + |13-x| = 98.

Fark edin ki $$|13-x| = |x-13|$$, böylece

2|x-13| = 98 \quad\Longrightarrow\quad |x-13| = 49.

Buna göre

x - 13 = 49 \,\Rightarrow\, x = 62,\\ x - 13 = -49 \,\Rightarrow\, x = -36.

Köklerin toplamı: $$62 + (-36) = 26.$$
Doğru cevap: D) 26.

Soru 3 Çözümü

Denklem:

|x-7| = |2x+8|.

Her iki tarafın karesini alalım:

(x-7)^2 = (2x+8)^2 \;\Longrightarrow\; x^2 -14x +49 = 4x^2 +32x +64 \;\Longrightarrow\; 3x^2 +46x +15 = 0.

Diskriminant:

Δ = 46^2 - 4\cdot3\cdot15 = 1936 = 44^2.

Kökler:

x = \frac{-46 \pm 44}{6} \;\Rightarrow\; x_1 = -15,\; x_2 = -\tfrac13.

Dolayısıyla çözüm kümesi $${-15,,-\tfrac13}$$ ve seçenek A doğrudur.

Özet Tablosu

Soru Dönüşüm Çözümler Toplam/Doğru Seçenek
2 2 x−13 =98
3 (x−7)²=(2x+8)² ⇒ 3x²+46x+15=0 x=−15, x=−1/3 {-15, -1/3} (A)

SSS

Q1. Mutlak değerli bir toplam ifadesi nasıl sadeleşir?
– |a|+|a| işlemi her zaman 2|a| olarak alınır.

Q2. Mutlak değer eşitliklerini kare alarak çözmenin avantajı nedir?
– Koşul ayrımı yapmak yerine bilinmeyeni tek denklemle bulup, uygunluğu kontrol edebilirsiniz.

Q3. Diskriminant formülü nedir ve ne işe yarar?
– $$Δ = b^2 - 4ac$$, ikinci dereceden denklemlerin köklerinin varlığını ve değerlerini belirler.

Q4. Köklerin toplamı nasıl bulunur?
– Bulunan çözümleri doğrudan topladığınızda köklerin toplamını elde edersiniz.

Başka bir mutlak değer denklemi örneği üzerinde adım adım çözüm ister misiniz?
@Tugce_Soylu