2 ve 2^{15} arasına geometrik dizi oluşturacak şekilde a terim yerleştirildiğinde dizinin ortak çarpanı 4 oluyor. Buna göre a kaçtır?

YKS TYT
1

image
image423×299 15.6 KB

2

Geometrik Dizi Sorusu Çözümü

Önemli Noktalar

  • Geometrik dizide terimler aralarında sabit bir ortak çarpanya sahiptir.
  • Verilen dizide, (a) ile (2^{15}) arasında 6 terim bulunmaktadır.
  • Ortak çarpanın 4 olduğu bilgisi kullanılarak (a) bulunur.

Çözüm: Verilen problemde, sayı doğrusunda artan sırada (a), (2^{15}) sayıları arasına 6 terim eklenerek toplam 8 terimli bir geometrik dizi oluşturulmaktadır. Ortak çarpan (4) olduğuna göre (a) değeri bulunabilir.

İçindekiler

  1. Sorunun Anlaşılması ve Verilerin Yazılması
  2. Geometrik Dizi Formüllerinin Uygulanması
  3. Çözüm Adımları
  4. Sonuç ve Alternatif Yöntemler

1. Sorunun Anlaşılması ve Verilerin Yazılması

  • Verilen aralık: (a) ile (2^{15}) arasında
  • Aralarına 6 terim yerleştirilmiş, yani toplamda (6 + 2 = 8) terim var.
  • Ortak çarpan (r) = 4
  • Geometrik dizi: (a, ar, ar^2, ar^3, …, ar^7 = 2^{15})

Burada dizide 8 terim var ve son terim (ar^7).

2. Geometrik Dizi Formüllerinin Uygulanması

  • Genel terim formülü:
    [
    a_n = a \times r^{n-1}
    ]
  • Son terim:
    [
    a_8 = a \times 4^{7} = 2^{15}
    ]

Buradan (a) bulunabilir.

3. Çözüm Adımları

  1. Son terimi yazalım:
    [
    a \times 4^7 = 2^{15}
    ]
  2. (4^7) ifadesini (2) cinsinden yazalım:
    [
    4 = 2^2 \Rightarrow 4^7 = (2^2)^7 = 2^{14}
    ]
  3. Denklem şu hale gelir:
    [
    a \times 2^{14} = 2^{15} \Rightarrow a = \frac{2^{15}}{2^{14}} = 2^{1} = 2
    ]

Yani, (a = 2).

4. Sonuç ve Alternatif Yöntemler

  • Orijinal dizinin ilk terimi (a = 2) olarak bulunur.
  • Kontrollü olarak terimler:
    [
    2, 8, 32, 128, 512, 2048, 8192, 32768
    ]
  • Bu son terim (2^{15} = 32768) ile aynı.

Özet Tablo

Element Detay
Toplam terim sayısı 8 (araya 6 terim eklendi)
Ortak çarpan (r) 4
Son terim (a_8) (2^{15})
İlk terim (a) 2

Sık Sorulan Sorular

1. Neden (4^7) ifadesini (2^{14}) olarak yazdık?
Üslü ifadeler aynı tabana sahipse, üsler çarpılır: ( (a^m)^n = a^{m \times n} ). (4 = 2^2) olduğu için (4^7 = (2^2)^7 = 2^{14}).

2. Dizideki toplam terim sayısını nasıl bulduk?
Açık uçlu arasında 6 terim ve uçlardaki 2 terim toplam 8 terim yapar.

3. Son terimden ilk terim nasıl bulunur?
Formül (a_n = a_1 \times r^{n-1}) 'dir. (a_1 = \frac{a_n}{r^{n-1}}) şeklinde bulunur.

Sonraki Adımlar

Bu tür geometrik dizi sorularında ortak çarpanı değiştiren veya terim sayısını farklı veren soruları da aynı mantıkla çözelim mi?

@Abdurrahman2134

3

2 ve 2^{15} arasına geometrik dizi oluşturacak şekilde a terim yerleştirildiğinde dizinin ortak çarpanı 4 oluyor. Buna göre a kaçtır?

  • Geometrik dizide terimler arasında sabit bir ortak çarpan (r) vardır.
  • Toplam terim sayısı (n = a + 2)’dir.
  • Genel formülle: son terim = ilk terim (\times r^{,n-1}).

a değeri 6’dır.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

Çözüm Adımları

  1. İlk terim (u_1 = 2), son terim (u_n = 2^{15}).
  2. Ortak çarpan (r = 4).
  3. Toplam terim sayısı (n) için:
u_n = u_1 \times r^{\,n-1} \quad\Longrightarrow\quad 2^{15} = 2 \times 4^{\,n-1}.
  1. Sadeleştirirsek:
4^{\,n-1} = \frac{2^{15}}{2} = 2^{14} = (2^2)^7 = 4^7 \quad\Longrightarrow\quad n - 1 = 7 \quad\Longrightarrow\quad n = 8.
  1. Araya yerleştirilen terim sayısı:
a = n - 2 = 8 - 2 = 6.

Özet Tablosu

Özellik Değer
İlk terim (u_1) 2
Ortak çarpan (r) 4
Son terim (u_n) (2^{15})
Toplam terim sayısı (n) 8
Araya eklenen terim sayısı (a) 6

SSS

  1. Soru: Genel olarak araya (a) terim eklemek ne demektir?
    Cevap: İlk ve son terim sabit kalacak şekilde dizinin uzunluğu (a+2) olur.

  2. Soru: Son terim formülü nedir?
    Cevap: (u_n = u_1 \times r^{,n-1}).

  3. Soru: Ortak çarpan farklı olsaydı nasıl ilerlerdik?
    Cevap: Aynı denklemde (r)’yi verilen değerle değiştirip benzer adımlarla (n)’i buluruz.

  4. Soru: Geometrik dizinin toplam terim sayısını bulmak neden önemli?
    Cevap: Aradaki terim sayısını bulmak için toplam terim sayısını bilmek zorunludur.

Başka benzer geometrik dizi soruları çözmek ister misiniz?
@Abdurrahman2134