\frac{2 \sin x + os x}{3} = \frac{os x - \sin x}{2}
eşitliğine göre,
A) \tan x =
B) ot x =
\frac{2\sin x + \cos x}{3} = \frac{\cos x - \sin x}{2} Eşitliğine Göre \tan x ve \cot x Değerlerinin Bulunması
KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:
- İçler Dışlar Çarpımı: \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies a \cdot d = b \cdot c
- Tanjant Fonksiyonu: \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
- Kotanjant Fonksiyonu: \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İçler Dışlar Çarpımı Yapma
Verilen denklemde pay ve paydaları karşılıklı olarak çarpalım:
2 \cdot (2\sin x + \cos x) = 3 \cdot (\cos x - \sin x)
Adım 2 — Parantezleri Dağıtma
Katsayıları parantez içindeki terimlerle çarpalım:
4\sin x + 2\cos x = 3\cos x - 3\sin x
Adım 3 — Benzer Terimleri Eşitliğin Aynı Tarafında Toplama
\sin x içeren terimleri sol tarafa, \cos x içeren terimleri sağ tarafa toplayalım:
4\sin x + 3\sin x = 3\cos x - 2\cos x
7\sin x = \cos x
Adım 4 — \tan x Değerini Hesaplama
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} bağıntısını elde etmek için her iki tarafı \cos x ve 7’ye bölelim:
\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1}{7}
\tan x = \frac{1}{7}
Adım 5 — \cot x Değerini Hesaplama
\cot x = \frac{1}{\tan x} bağıntısını kullanarak \cot x değerini bulalım:
\cot x = \frac{1}{\frac{1}{7}} = 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
- a) \tan x = \frac{1}{7}
- b) \cot x = 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Tanjant ve Kotanjant Arasındaki Çarpımsal Terslik
- Tanım: Aynı açıya ait tanjant ve kotanjant değerlerinin çarpımı daima 1’e eşittir (\tan x \cdot \cot x = 1).
- Bu problemde: \tan x = \frac{1}{7} bulunduktan sonra \cot x değeri doğrudan bu sayının çarpmaya göre tersi alınarak 7 olarak hesaplanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
İşaret ve Taraf Değiştirme Hatası
- Yanlış: -3\sin x ifadesini sol tarafa geçirirken işaretini değiştirmeyip 4\sin x - 3\sin x = \sin x yazmak.
- Doğru: Eşitliğin karşısına geçen terimin işareti değişir: 4\sin x + 3\sin x = 7\sin x.
- Neden yanlış: Denklem çözme kurallarına göre eşitliğin diğer tarafına geçen her terim işaret değiştirir.
Bu trigonometrik oranları kullanarak \sin x veya \cos x değerlerini bulmak için bir dik üçgen çizimi adımını da birlikte incelememizi ister misin?