\frac{2 \sin 70^irc}{os 20^irc} - \sin^2 40^irc - \sin^2 50^irc
İşleminin sonucu kaçtır?
\frac{2 \sin 70^\circ}{\cos 20^\circ} - \sin^2 40^\circ - \sin^2 50^\circ İşleminin Sonucu
KULLANILAN KURALLAR VE ÖZDEŞLİKLER:
- Tümler Açı Kuralı: Birbirini 90^\circ’ye tamamlayan açıların sinüsü kosinüsüne eşittir:\sin(90^\circ - x) = \cos x \quad \text{veya} \quad \sin x = \cos(90^\circ - x)
- Temel Trigonometrik Özdeşlik:\sin^2 x + \cos^2 x = 1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kesirli İfadeyi Sadeleştirme
70^\circ + 20^\circ = 90^\circ olduğundan tümler açı kuralına göre \sin 70^\circ = \cos 20^\circ olur. İfadede yerine yazalım:
\frac{2 \sin 70^\circ}{\cos 20^\circ} = \frac{2 \cos 20^\circ}{\cos 20^\circ} = 2
Adım 2 — Kareli İfadeleri Düzenleme
-\sin^2 40^\circ - \sin^2 50^\circ ifadesini eksi parantezine alalım:
-(\sin^2 40^\circ + \sin^2 50^\circ)
40^\circ + 50^\circ = 90^\circ olduğundan \sin 50^\circ = \cos 40^\circ yazılabilir:
-(\sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ)
Adım 3 — Özdeşliği Uygulama ve Sonucu Bulma
\sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ = 1 olduğu için:
-(\sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ) = -1
Tüm ifadeyi birleştirelim:
2 - 1 = 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Tümler Açılar
- Tanım: Toplamları 90^\circ olan iki açıya tümler açılar denir.
- Bu problemde: 70^\circ ile 20^\circ ve 40^\circ ile 50^\circ tümler açılar olduğu için sinüs ve kosinüs birbirine dönüştürülmüştür.
2. Pisagor Trigonometrik Özdeşliği
- Tanım: Aynı açının sinüsünün karesi ile kosinüsünün karesinin toplamı daima 1’e eşittir (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1).
- Bu problemde: \sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ = 1 eşitliği kullanılarak ifade sadeleştirilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Eksi İşaretini Paranteze Almamak
- Yanlış: -\sin^2 40^\circ - \sin^2 50^\circ = -(1) = 1 sanmak veya işaretleri karıştırarak +1 almak.
- Doğru: -\sin^2 40^\circ - \sin^2 50^\circ = -(\sin^2 40^\circ + \sin^2 50^\circ) = -(1) = -1.
- Neden yanlış: Her iki terimin de önündeki eksi işareti ortak paranteze alındığında içerideki işlem toplama işlemine dönüşür ve parantezin önünde eksi kalır.
Trigonometride benzer tümler açı dönüşümleri veya yarım açı formülleriyle ilgili başka bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?
Bana sorunun sadece cevabını yaz. uzun açıklama yazma sadece cevapları, doğru cevapları yaz.
\frac{2 \sin 70^\circ}{\cos 20^\circ} - \sin^2 40^\circ - \sin^2 50^\circ İşleminin Çözümü
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Tümler Açılar: \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha
- Trigonometrik Özdeşlik: \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Tümler Açı Dönüşümlerini Uygulama
70^\circ + 20^\circ = 90^\circ olduğundan \sin 70^\circ = \cos 20^\circ olur.
40^\circ + 50^\circ = 90^\circ olduğundan \sin 50^\circ = \cos 40^\circ olur.
Adım 2 — Sadeleştirme ve Değerleri Yerine Yazma
\frac{2 \sin 70^\circ}{\cos 20^\circ} = \frac{2 \cos 20^\circ}{\cos 20^\circ} = 2
-\sin^2 40^\circ - \sin^2 50^\circ = -(\sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ) = -(1) = -1
Adım 3 — Sonucu Hesaplama
2 - 1 = 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Tümler Açı Özelliği
- Tanım: Toplamı 90^\circ olan açıların birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne eşittir.
- Bu problemde: \sin 70^\circ yerine \cos 20^\circ ve \sin 50^\circ yerine \cos 40^\circ yazılmıştır.
2. Kareler Toplamı Özdeşliği
- Tanım: Aynı açının sinüs ve kosinüs kareleri toplamı 1’dir (\sin^2 x + \cos^2 x = 1).
- Bu problemde: \sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ = 1 eşitliği kullanılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Eksi Parantezine Almayı Unutmak
- Yanlış: -\sin^2 40^\circ - \sin^2 50^\circ = 1 yazmak.
- Doğru: -(\sin^2 40^\circ + \sin^2 50^\circ) = -1 yazmak.
- Neden yanlış: Terimlerin her ikisinin de katsayısı negatif olduğu için toplam 1 değil, -1 olur.
Benzer bir trigonometri sadeleştirme sorusu daha çözerek pratiğini artırmak ister misin?