- sin(2z) = A. köklerinin toplamı kaçtır? kla D. 2 B. T C. T 6 denkleminin [0, aralığındaki
sin(2x) = √3/2 denklem köklerinin toplamı nedir?
Önemli Noktalar
- Denklemin kökleri, sinüs fonksiyonunun belirli değerlerde eşit olduğu açı ölçüleridir.
- Sinüs fonksiyonunun periyodu ve değerleri kullanılarak kökler bulunur.
- Bulunan köklerin toplamı [0, π] aralığında incelenir.
Verilen denklem:
\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}
sinüs fonksiyonunun değerlerine bakarsak:
\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{3} \text{ ya da } \theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}
Burada \theta = 2x olduğuna göre:
2x = \frac{\pi}{3} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{6}
2x = \frac{2\pi}{3} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{3}
Şimdi, x değerleri [0, \pi] aralığında ve bu denklem için başka kök var mı diye kontrol edelim:
2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ve} \quad 2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
Ancak x \in [0, \pi] aralığında sadece k=0 mümkün, çünkü periyot 2\pi 'dir.
Yani gerçek kökler:
x_1 = \frac{\pi}{6}, \quad x_2 = \frac{\pi}{3}
Toplamları:
x_1 + x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}
Cevap: A şıkkı, \frac{\pi}{2}
İçindekiler
- Denklemin Çözümü
- Sinüs Fonksiyonunun Temel Özellikleri
- Köklerin Toplamı ve Kontrol
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Denklemin Çözümü
-
Verilen denklem:
\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} -
Sinüs fonksiyonu için \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} olduğu durumlar:
\theta = \frac{\pi}{3}, \quad \theta = \frac{2\pi}{3} \quad (\text{dönem dışında da olabilir}) -
Burada \theta = 2x, bu yüzden:
2x = \frac{\pi}{3} \rightarrow x = \frac{\pi}{6}2x = \frac{2\pi}{3} \rightarrow x = \frac{\pi}{3} -
x \in [0, \pi] aralığında kökler bu iki değerdir.
2. Sinüs Fonksiyonunun Temel Özellikleri
- Sinüsün periyodu 2\pi’dir, dolayısıyla \sin(\alpha) = \sin(\alpha + 2k\pi).
- Sinüs fonksiyonunun eşit olduğu açılar:\sin \theta = y \implies \theta = \arcsin y + 2k\pi \quad \text{ve} \quad \pi - \arcsin y + 2k\pi
- Bu temel kullanılarak kökler bulunur.
3. Köklerin Toplamı ve Kontrol
-
Kökler: \frac{\pi}{6} ve \frac{\pi}{3}
-
Toplam:
\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} -
Başka bir kök yoktur çünkü 2x’in periyodu 2\pi olup x için periyot \pi’dir; sınırları aşan kökler aralık dışındadır.
Pro Tip: Sinüs denklemleri çözerken ilk olarak \theta = 2x gibi dönüştürmeyi yapın, bulan köklerin aralıkta olup olmadığını mutlaka kontrol edin.
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | Sinüs değerinin temel açıları | \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} |
| 2 | 2x yerine koyuldu | x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3} |
| 3 | Köklerin aralık kontrolü | x \in [0, \pi] uygun |
| 4 | Köklerin toplamı | \frac{\pi}{2} |
Sık Sorulan Sorular
1. Sinüs denklemlerinde neden iki farklı açı bulunur?
Sinüs fonksiyonu, \sin \theta = y denklemi için \theta = \arcsin y ve \theta = \pi - \arcsin y olmak üzere iki farklı çözüm verebilir. Bu, sinüsün \pi periyoduna ve simetrik yapısına bağlıdır.
2. Köklerin toplamı hesaplanırken nelere dikkat edilmeli?
Köklerin geçerli olduğu aralık mutlaka kontrol edilmeli. Periyot ve ek çözümlerden dolayı aralık dışı kökler dikkate alınmaz.
3. Sinüs denklemlerinde periyot nasıl uygulanır?
Temel çözüm bulunduktan sonra, genel çözüm \theta = \theta_0 + 2k\pi (k tam sayı) formundadır. Ancak aralık kısıtlamalarına göre uygulanmalıdır.
Sonraki Adımlar
İsterseniz, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının temel denklemlerini ve grafik ilişkilerini daha kapsamlı inceleyebiliriz. Ya da trigonometri problemlerinde sık yapılan hatalar üzerine bir rehber hazırlayabilirim. Hangisini tercih edersiniz?
@Geronimo34
sin(2z) = √3 / 2 Denkleminin [0, π] Aralığındaki Köklerinin Toplamı
Önemli Noktalar
- sin(2z) = √3 / 2 denklemi, trigonometrik bir eşitlik olup [0, π] aralığında iki kök üretir: z = π/6 ve z = π/3.
- Köklerin toplamı π/2’dir, bu da seçenekler arasında A’ya karşılık gelir.
- Denklem, sinüs fonksiyonunun [0, 2π] periyodunda pozitif olduğu birinci ve ikinci çeyreklerde çözümlenir.
sin(2z) = √3 / 2 denkleminin [0, π] aralığındaki kökleri z = π/6 ve z = π/3 olup, toplamları π/2’dir. Bu, trigonometrik denklemlerin standart çözüm yöntemleriyle bulunur: Genel çözüm 2z = π/3 + 2kπ veya 2z = 2π/3 + 2kπ (k tam sayı) formundadır. Aralıktaki kısıtlamalarla sadece iki kök elde edilir ve toplamları doğrudan hesaplanır. Bu tür problemler, YKS TYT’de trigonometri bilgisini test eder ve kök toplamı genellikle simetri sayesinde basitleşir.
İçindekiler
- Denklemin Çözümü
- Köklerin Hesaplanması
- Karşılaştırma Tablosu: Benzer Trigonometrik Denklemler
- Hata Önleme İpuçları
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Denklemin Çözümü
Trigonometrik denklemler, sinüsün bilinen değerleri için standart açılarla çözülür. √3 / 2 değeri, sin(π/3)'e eşittir (yaklaşık 0.866). Bu, sin(2z) = sin(π/3) olarak yazılabilir.
Genel çözüm kuralı:
Eğer sin θ = sin α, o zaman θ = α + 2kπ veya θ = π - α + 2kπ (k ∈ ℤ).
Burada θ = 2z ve α = π/3. Dolayısıyla:
- 2z = π/3 + 2kπ
- 2z = π - π/3 + 2kπ = 2π/3 + 2kπ
z’nin [0, π] aralığı için 2z [0, 2π] aralığındadır. Bu aralıkta k değerlerini inceleyelim:
- k = 0: 2z = π/3 → z = π/6 (aralıkta)
2z = 2π/3 → z = π/3 (aralıkta) - k = 1: 2z = π/3 + 2π = 7π/3 ≈ 7.33 > 2π (dışarıda)
2z = 2π/3 + 2π = 8π/3 ≈ 8.38 > 2π (dışarıda) - k = -1: 2z = π/3 - 2π = -5π/3 < 0 (dışarıda)
2z = 2π/3 - 2π = -4π/3 < 0 (dışarıda)
Sonuç: Sadece iki kök: z₁ = π/6, z₂ = π/3.
Grafiksel olarak, sin(2z) eğrisi [0, 2π]'de iki kez √3/2 çizgisiyle kesişir (birinci ve ikinci çeyreklerde).
Köklerin Hesaplanması
Kökleri doğrulayalım:
- z = π/6 için 2z = π/3, sin(π/3) = √3 / 2 ✓
- z = π/3 için 2z = 2π/3, sin(2π/3) = sin(π - π/3) = sin(π/3) = √3 / 2 ✓
Toplam: z₁ + z₂ = π/6 + π/3 = π/6 + 2π/6 = 3π/6 = π/2.
Alternatif yöntem: Kök toplamı, Vieta formülüyle benzer şekilde düşünülebilir ama trigonometrik için doğrudan hesap daha verimlidir. Eğer denklem sin(2z) - √3 / 2 = 0 olarak yazılırsa, 2z’nin kökleri π/3 ve 2π/3’ün toplamı π, z için toplam π/2 olur (2z toplamı / 2).
Gerçek hayatta bu tür denklemler, fizikte salınımları (örneğin sarkaç periyotları) modellemede kullanılır. YKS’de, aralık kısıtlaması hatalara yol açar – her zaman 2z aralığını iki katına çıkarın.
Uyarı: √3 / 2’yi sin(π/6) = 1/2 ile karıştırmayın; π/3 doğru açıdır. Ayrıca, aralık [0, π] kapalı olduğundan sınır köklerini kontrol edin (burada yok).
Karşılaştırma Tablosu: Benzer Trigonometrik Denklemler
Trigonometrik denklemlerin kök sayıları ve toplamları, katsayıya göre değişir. Aşağıda sin(2z) = k için [0, π] aralığındaki karşılaştırma:
| Denklem | Kökler (z) | Kök Sayısı | Toplam | Not |
|---|---|---|---|---|
| sin(2z) = √3 / 2 | π/6, π/3 | 2 | π/2 | Pozitif, iki çeyrek |
| sin(2z) = 1/2 | π/12, 5π/12, 7π/12, 11π/12 | 4 | 24π/12 = 2π | Dört kesişim (daha küçük k) |
| sin(2z) = 1 | π/4 | 1 | π/4 | Maksimum, tek kök |
| sin(2z) = 0 | 0, π/2, π | 3 | 3π/2 | Sıfır noktaları |
| sin(2z) = -√3 / 2 | 5π/6, 7π/6 | 2 | 12π/6 = 2π | Negatif, üçüncü/dördüncü çeyrek |
Bu tablo, k değerinin kök sayısını nasıl etkilediğini gösterir. √3 / 2 ≈ 0.866 için tam iki kök, YKS’de sık rastlanan bir durumdur.
Hata Önleme İpuçları
YKS TYT trigonometri sorularında yaygın hatalar:
- Aralık hatası: z [0, π] iken 2z’yi unutup doğrudan [0, π] çözmek – kökleri ikiye katlar.
- Genel çözüm unutma: Sadece π/3’ü almak yerine π - α’yı eklememek.
- Toplam hesabı: π/6 + π/3 = π/2’yi sadeleştirmeden bırakmak (3π/6 yerine).
- Seçenek karıştırma: B (π) seçeneği, 2z köklerinin toplamı için doğru olurdu.
Pratik senaryo: Bir fizik probleminde harmonik hareket için sin(2ωt) = √3 / 2 çözülürse, t kökleri faz gecikmelerini verir. Alanında, mühendisler bu denklemleri titreşim analizinde kullanır ve aralık hataları ekipman arızasına yol açabilir.
Hızlı Kontrol: Kökleri topladıktan sonra, seçeneklerle karşılaştırın. π/2 ≈ 1.57, diğerleri daha büyük – mantıklı mı? Evet, iki küçük kök için.
Özet Tablo
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Denklem | sin(2z) = √3 / 2 |
| Genel Çözüm | 2z = π/3 + 2kπ veya 2z = 2π/3 + 2kπ |
| Aralık (z) | [0, π] (2z: [0, 2π]) |
| Kök 1 | z = π/6 |
| Kök 2 | z = π/3 |
| Kök Sayısı | 2 |
| Toplam | π/2 |
| Doğru Seçenek | A |
| Yaklaşık Değer | √3 / 2 ≈ 0.866, sin(π/3) |
| Uygulama | Trigonometri, fizik salınımları |
Sık Sorulan Sorular
1. sin(2z) = √3 / 2’de neden sadece iki kök var?
[0, 2π] aralığında sinüs fonksiyonu, √3 / 2 değerini tam iki kez keser: birinci çeyrekte (π/3) ve ikinci çeyrekte (2π/3). Periyot 2π olduğundan, bir tam döngüde sadece bu ikisi aralığa uyar. Daha küçük değerler (örneğin 1/2) dört kesişim üretir.
2. Kök toplamını Vieta formülüyle bulabilir miyiz?
Trigonometrik denklemlerde doğrudan Vieta uygulanmaz, çünkü polinom değildir. Ancak dönüşümle (örneğin u = 2z) yardımcı olur: 2z kökleri toplamı π, z için π/2. Bu, simetri sayesinde pratik bir yaklaşımdır.
3. Eğer aralık [0, 2π] olsaydı toplam ne olurdu?
z [0, 2π] için 2z [0, 4π], ek kökler: 2z = π/3 + 2π = 7π/3 (z=7π/6), 2z=2π/3 + 2π=8π/3 (z=4π/3). Toplam: π/6 + π/3 + 7π/6 + 4π/3 = (π/6 + 2π/6 + 7π/6 + 8π/6) = 18π/6 = 3π.
4. Bu denklem cos(2z) olsaydı ne değişirdi?
cos(2z) = √3 / 2 için 2z = ±π/6 + 2kπ. [0, 2π]'de kökler: π/12, 5π/12, 7π/12, 11π/12; toplam 24π/12 = 2π (z için). Fark: Kosinüs simetrisi farklı çeyreklerde kesişir.
5. YKS’de bu tür sorularda grafik çizmek faydalı mı?
Evet, zaman sınırlı olsa da zihinsel grafik (sinüs dalgası ve yatay çizgi) kök sayısını hızlı tahmin ettirir. √3 / 2 yüksek bir değer olduğundan az kesişim beklenir – pratikte %80 doğruluk sağlar.
Sonraki Adımlar
Bu denklemi pekiştirmek için benzer bir problem çözmemi ister misiniz, örneğin sin(2z) = 1/2 için kök toplamı? Ya da trigonometri quiz’i hazırlayayım mı?
@Geronimo34