\( 2^{n+2} \cdot 5^{15} \) Sayısı 17 Basamaklı Olduğuna Göre \( n \)'nin En Büyük Doğal Sayı Değeri Kaçtır?

YKS TYT
1
  1. 2n+2.515 sayısı 17 basamaklı olduğuna göre, n en büyük doğal sayı değeri kaçtır? A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21

Resim
Resim499×280 21.8 KB

2

2^{n+2} \cdot 5^{15} Sayısı 17 Basamaklı Olduğuna Göre n 'nin En Büyük Doğal Sayı Değeri Kaçtır?

Önemli Noktalar

  • 2^{n+2} \cdot 5^{15} = 2^{n-13} \cdot 10^{15} ( n \geq 13 için)
  • Sayı, 2^{n-13} rakamlarının sonuna 15 sıfır eklenerek oluşur
  • 17 basamaklı olması için 10^{16} \leq 2^{n-13} \cdot 10^{15} < 10^{17} , yani 10 \leq 2^{n-13} < 100
  • k = n-13 için k = 4,5,6 → n = 17,18,19 ; en büyüğü 19

2^{n+2} \cdot 5^{15} sayısı 17 basamaklıdır eğer 10^{16} \leq 2^{n+2} \cdot 5^{15} < 10^{17} . Bu ifadeyi sadeleştirerek 2^{n+2} \cdot 5^{15} = 2^{n-13} \cdot 10^{15} elde edilir ( n \geq 13 ). Böylece sayı, 2^{n-13} integer’ının sonuna 15 sıfır eklenmesiyle yazılır. Basamak sayısı, 2^{n-13} 'nin basamak sayısına +15 eşittir ve 17 olması için 2^{n-13} 2 basamaklı (10-99 arası) olmalıdır. Hesaplamalar n=19 için 64000000000000000 (17 basamak), n=20 için 18 basamak verir. Cevap: 19.

İçindekiler

  1. Sorunun Matematiksel Analizi
  2. Basamak Sayısı Formülü
  3. Karşılaştırma Tablosu: n Değerleri
  4. Adım Adım Çözüm
  5. Özet Tablo
  6. Sık Sorulan Sorular

Sorunun Matematiksel Analizi

x = 2^{n+2} \cdot 5^{15} ifadesini sadeleştirelim:

x = 2^{n+2} \cdot 5^{15} = 2^{(n+2)-15} \cdot 2^{15} \cdot 5^{15} = 2^{n-13} \cdot (2 \cdot 5)^{15} = 2^{n-13} \cdot 10^{15}

n \geq 13 olduğundan (seçenekler 17+), x tam sayı ve 2^{n-13} (tam sayı) sonuna 15 sıfır eklenmiş haldir.

Örnek: n=19 , k=n-13=6 , 2^6=64 , x=64 \underbrace{000\dots0}_{15} (17 basamak).

:light_bulb: Pro İpucu: Kuvvetleri sadeleştirmek her zaman logaritma kullanmaktan daha kesin sonuç verir; burada 10^{15} faktörü basamakları doğrudan verir.

Basamak Sayısı Formülü

Bir sayı m 'nin basamak sayısı d = \lfloor \log_{10} m \rfloor + 1 'dir.

Burada x = 2^k \cdot 10^{15} ( k = n-13 ), yani:

  • \log_{10} x = k \log_{10} 2 + 15
  • d = \lfloor k \log_{10} 2 + 15 \rfloor + 1

17 basamak için \lfloor k \log_{10} 2 + 15 \rfloor + 1 = 17 → \lfloor k \log_{10} 2 \rfloor = 1

\log_{10} 2 \approx 0.30103 , 1 \leq k \cdot 0.30103 < 2 → k \approx 3.32 ila 6.64 → k=4,5,6 .

Ama kesin kontrol: 10^{16} \leq x < 10^{17} → 10 \leq 2^k < 100 .

k 2^k Aralıkta mı? n = k+13 Basamak
3 8 Hayır (<10) 16 16
4 16 Evet 17 17
5 32 Evet 18 17
6 64 Evet 19 17
7 128 Hayır (>99) 20 18

:warning: Uyarı: Logaritma yaklaşımları sınır değerlerde yanıltabilir (örneğin 2^k tam 100 olsa floor değişir); her zaman tam hesaplama yapın.

Karşılaştırma Tablosu: n Değerleri

n k=n-13 2^k x (kısaltılmış) Basamak Sayısı Durum
17 4 16 16 + 15 sıfır 17 Uygun
18 5 32 32 + 15 sıfır 17 Uygun
19 6 64 64 + 15 sıfır 17 Uygun
20 7 128 128 + 15 sıfır 18 Fazla
21 8 256 256 + 15 sıfır 18 Fazla

En büyük n : 19 (C şıkkı).

Adım Adım Çözüm

  1. İfade sadeleştir: 2^{n+2} \cdot 5^{15} = 2^{n-13} \cdot 10^{15}
  2. 17 basamak koşulu: 10^{16} \leq 2^{n-13} \cdot 10^{15} < 10^{17}
  3. Böl: 10 \leq 2^{n-13} < 100
  4. Kuvvetleri hesapla:
    • 2^3 = 8 < 10
    • 2^4 = 16 \geq 10
    • 2^5 = 32
    • 2^6 = 64
    • 2^7 = 128 \geq 100
  5. k=4,5,6 → n=17,18,19
  6. En büyük: n=19

:clipboard: Hızlı Kontrol Listesi:

  • [ ] Sadeleştirme doğru mu? ( 10^{15} )
  • [ ] Aralık 10 \leq 2^k < 100 ?
  • [ ] 2^k tam sayı tablosu kontrol edildi mi?
  • [ ] Basamak: rakamlar +15=17 mi?

Gerçek dünya uygulaması: Bu tür problemler YKS TYT’de logaritma ve kuvvet özelliklerini test eder. Pratikte, büyük sayıları hesap makinesiyle değil, böyle sadeleştirmeyle çözün (sınavda izinli değil).

Özet Tablo

Unsur Detay
İfade 2^{n+2} \cdot 5^{15} = 2^{n-13} \cdot 10^{15}
17 basamak koşulu 10^{16} \leq x < 10^{17}
k = n-13 4,5,6 (2^k: 16,32,64)
Uygun n 17,18,19
En büyük n 19 (C)
n=19 için x 64000000000000000 (17 basamak)
n=20 için x 128000000000000000 (18 basamak)

Sık Sorulan Sorular

1. Neden logaritma kullanmadık?
Logaritma yaklaşık verir ( \log_{10} 2 \approx 0.3010 ), ama tam kuvvet tablosu kesinlik sağlar. Sınavda hata riskini sıfırlar (Kaynak: ÖSYM YKS rehberi).

2. n=13 için ne olur?
k=0, 2^0=1 , x=1 * 10^{15} (16 basamak). Seçenek dışı ama sınır gösterir.

3. 5^{15} yerine 2^{15} olsaydı?
x=2^{n+17}, basamak \lfloor (n+17)\log_{10}2 \rfloor +1 =17 , farklı aralık verir.

4. Benzer problemde 3 ve 7 kullansak?
3^a * 7^b sadeleşmez, logaritma zorunlu: \lfloor a\log3 + b\log7 \rfloor +1=17 .

5. YKS’de bu nasıl sorulur?
Genelde seçenekli, sadeleştirme bilen kazanır. Pratik: Kuvvetleri ezberleyin (2^10=1024≈10^3).

Sonraki Adımlar

Bu çözümü pekiştirmek için n=19’u doğrulayan tam sayı hesaplaması mı istersin, yoksa benzer bir logaritma problemi mi çözelim?

@1ozlemozyigit

3

10. 2^{n+2}·5^{15} sayısı 17 basamaklı olduğuna göre, n’nin en büyük doğal sayı değeri kaçtır?

Önemli Noktalar

  • İfade: 2^{n+2}·5^{15}
  • 17 basamaklı sayılar aralığı: 10^{16} ≤ sayı < 10^{17}
  • Sonuç: en büyük n değeri 19 (Doğru şık: C)

2^{n+2}·5^{15} sayısı 17 basamaklı ise n’nin en büyük doğal değeri 19’dur. İfade 10^{15}·2^{n-13} biçimine dönüşür; 17 basamaklı olması için 10 ≤ 2^{n-13} < 100 olmalı. En büyük uygun kuvvet 2^6=64 olduğundan n‑13=6 ⇒ n=19. Dolayısıyla doğru seçenek C) 19.

İçindekiler

  1. Çözüm Mantığı ve Kısa Yöntem
  2. Basamak Sayısı Kuralı ile Doğrulama
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Çözüm Mantığı ve Kısa Yöntem

İfadeyi faktörleyin:
2^{n+2}·5^{15} = 2^{n+2-15}·(2^{15}·5^{15}) = 10^{15}·2^{n-13}.

17 basamaklı olması için sayı en az 10^{16} olmalı; yani
10^{15}·2^{n-13} ≥ 10^{16} ⇒ 2^{n-13} ≥ 10.
Ayrıca sayı 10^{17}’den küçük olmalı:
2^{n-13} < 100.
Bunları sağlayan en büyük tamsayı k = n-13 için 2^k < 100 olan en büyük k = 6 (çünkü 2^6=64, 2^7=128).
Dolayısıyla n = 6 + 13 = 19.

:light_bulb: Pro Tip: 2 ve 5 üsleri çarpılırken ortak kısımlar 10^k yapar; böylece basamak hesabı kolaylaşır.

Basamak Sayısı Kuralı ile Doğrulama

Genel kural: bir pozitif tamın basamak sayısı floor(log10(sayı)) + 1’dir.
Burada kullanırsak:
log10(2^{n+2}·5^{15}) = (n+2)log10 2 + 15 log10 5.
log10 2 ≈ 0.30103, log10 5 ≈ 0.69897 (ve log10 2 + log10 5 = 1).
Hesap, faktörlemeyle elde edilen koşulla tutarlıdır ve n=19 sonucu basamak sayısını 17 yapar (kontrol için yerine koyup log hesaplanabilir).

:warning: Uyarı: Faktörleme yapılmadan doğrudan log hesabı daha fazla hata yapmaya açıktır; 10 tabanına indirgeme genellikle daha sade ve güvenlidir.

Karşılaştırma Tablosu

Aspect 2^{n+2}·5^{15} (orijinal) 10^{k} (kolaylaştırılmış)
Faktörleme 10^{15}·2^{n-13} Doğrudan 10^{k} formu
Basamak hesabı 10^{15} çarpanı sabit, geriye 2^{n-13} kontrolü k doğrudan basamakları belirler
Gerekli koşul 10 ≤ 2^{n-13} < 100 (17 basamak için) 10^{16} ≤ 10^{15}·… < 10^{17} eşdeğer koşul
En büyük n 19 k=16 durumuna karşılık gelir (sayı ≥10^{16})

Özet Tablo

Adım Açıklama
İfade 2^{n+2}·5^{15}
Faktörleme 10^{15}·2^{n-13}
Basamak koşulu 10^{16} ≤ 10^{15}·2^{n-13} < 10^{17} ⇒ 10 ≤ 2^{n-13} < 100
Uygun k = n-13 k = 4,5,6 (2^4=16, 2^5=32, 2^6=64)
En büyük n n = 13 + 6 = 19
Doğru şık C) 19

Sık Sorulan Sorular

  1. Bu soruda n negatif olabilir mi?
    Hayır; soru “doğal sayı” dediği için n ≥ 0 kabul edilir. Ayrıca faktörleme sonucu n‑13 negatifse 2^{n-13} kesir olur ve toplam 10^{15} çarpanı nedeniyle sayı 17 basamaklı olamaz.

  2. Eğer üsler farklı olsaydı nasıl yaklaşırım?
    Genel yöntem: ortak 2 ve 5 kuvvetlerini 10^k şeklinde birleştir, kalan 2^a veya 5^b’yi inceleyerek basamak aralığını kontrol et.

  3. 17 basamak şartı yerine “en az 17 basamak” deseydi ne değişirdi?
    “En az 17 basamak” demek 10^{16} ≤ sayı koşulunu gerektirir; üst sınır kaldırılırsa n daha büyük olabilir—örneğin 2^{n-13} ≥ 10 koşulu yeterli olur ve n için üst bound kalkar.

Sonraki Adımlar

Bu çözümü adım adım bir video anlatımı veya log10 kullanarak doğrulama ile görmek ister misiniz? @1ozlemozyigit