2 metre boyundaki Celal, biçimindeki sırığı kafasına temas ettirerek Şekil 1 deki gibi tuttuğunda A ucu zeminde, B ucu

HIGH SCHOOL
1

Soru:
2 metre boyundaki Celal, [AB] biçimindeki sırığı kafasına temas ettirerek Şekil 1 deki gibi tuttuğunda A ucu zeminde, B ucu da zeminden 6 metre yükseklikte durmaktadır. Celal, sırığı temas noktasını değiştirmeden çevirip Şekil 2 deki gibi tuttuğunda B ucu zeminde durmaktadır. Buna göre, Şekil 2 de de A ucunun zeminden yüksekliği x kaç metredir?

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli800×977 71.8 KB

2

2 metre boyundaki sırığın iki farklı konumda tutuluşuna göre A ucunun yüksekliği x kaçtır?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Pisagor Teoremi: Dik üçgende hipotenüsün karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamına eşittir.
  • Üçgenlerde uzunluk ilişkileri ve diklikten yararlanma.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Bilinenleri yaz:

  • Sırığın boyu: |AB| = 2 m
  • Şekil 1’de A ucu zeminde, B ucu zeminden 6 m yüksekte.
  • Sırık kafaya temas noktası sabit, sırık dönüyor.
  • Şekil 2’de B ucu zeminde, A ucu yüksekte (yükseklik = x).
  • Sırığın uzunluğu değişmez.

Adım 2 — Şekil 1’de üçgeni incele:

Sırığın kafaya temas ettiği noktaya C diyelim. C, sırık üzerindeki sabit dönme noktası.

  • AC ve CB parçaları, sırığın boyunu oluşturur: AC + CB = 2 m
  • Şekil 1’de A ucu zeminde, B ucu 6 m yüksekteyse, bu durumda

AC = 0 (zeminde), B yüksekliği = 6 m

Ancak sırığın tamamı 2 m, bu çelişiyor. Burada anlaşılması gereken, sırığın kafaya temas ettiği noktanın yerden yüksekliği önemli.

Ama fotoğraftaki bilgilerden ve sorudan anlaşılan:

  • Sırığın konumu ve tutulma şekli dolayısıyla sırık kafaya temas ediyor ve dönüyor.
  • Sırık uzunluğu 2 m (AB=2 m)
  • Şekil 1’de B ucu 6 m yüksekte, bu olamaz çünkü sırık boyu sadece 2 m.

Burada soru fotoğrafındaki metin ve yükseklik bilgisi tutarsızlık yaratıyor.

Ancak soru metninde:

“A ucu zeminde, B ucu da zeminden 6 metre yükseklikte durmaktadır.”

Bu normal geometri mantığına göre mümkün değil çünkü sırığın boyu 2 m.

Öncelikle soru şıkkında veriler karışmış olabilir. Ancak fotoğrafa bakıldığında sırık kendi içinde 2 m uzunluğunda, B ucu zeminden 6 m yüksekte olamaz. Buradaki 6 metre, birimler ya da ifadede hata olabilir.

Öneri:

Burada aslında 2 m değil, 6 m uzunluk diye anlaşılmış olabilir.

Ya da soruda;

  • Celal 2 metre boyunda,
  • Sırık AB biçiminde,
  • B ucu zeminden 6 metre yüksekte duruyor.

Ama sırığın uzunluğu verilmemiş olabilir.

Girişte verilen ifadeye göre mantıksal çözüm yolu:

Varsayalım sırığın uzunluğu L, Celal 2 m boyunda.

Şekil 1:

  • A ucu zeminde (y=0)
  • B ucu zeminden 6 m yüksekte (y=6)
  • Aralarında sırığın uzunluğu L.

Sırığın uzunluğu yerde yatay değil, açı yapıyor.

Sırığın kafaya temas ettiği noktanın yerden yüksekliği h olsun.

Bu durumda A ve B, sırığın uçları.

Sırığın kafaya temas ettiği nokta C, sırık üzerinde sabit mesafededir. C, kafaya temas noktasıdır.

Kurgu yaparsak:

Şekil 1: A noktası yerde, B noktası 6 m yüksekte. Sırığın uzunluğu L ise, aynı sırık döndürülerek Şekil 2’de B noktası yerde, A noktası yüksekte olacaktır.

Hedefimiz, Şekil 2’de A’nın yüksekliğini bulmak, yani x.

Adım 3 — Matematiksel model ve çözüm:

Sırığın uzunluğu sabit ve sırık üzerindeki dönüş noktası sabittir, o zaman dönüş noktası C, sırığın AC ve CB parçalarını değişmeden korur.

Yani,

|AC| = c

|CB| = d

ve

c + d = L

Dönme noktası olduğu için c ve d sabittir.

Şekil 1’de:

  • A ucu zemin: Yükseklik 0

  • B ucu zemin + 6 m

  • Sırığın kafaya temas ettiği nokta C yükseklik h

Şekil 1’de A’nın Y=0, B’nin Y=6.

Dönme noktası C kafada olduğuna göre, C’nin yüksekliği h = Celal’in boyudur = 2 m. Çünkü sırık kafaya temas ediyor.

Doğruysa:

  • AC uzunluğu = c

  • CB uzunluğu = d

Buna göre;

Şekil 1;

  • AC parçası yere paralel, ama yükseklik farkı olabilir. Ancak sırık uzunluğu için hipotenüs oluşturur. AC ve CB’nin uzunları sabittir.

Şekil 1’de:

A’dan C’ye düşey mesafe = h1 = 2 - 0 = 2 m (Celal’in yüksekliği)

B’den C’ye düşey mesafe = 6 - 2 = 4 m

Hipotenüs uzunluğu L = 2 m.

Çelişki tekrar oluşuyor.

Burada çözüm için aşağıdaki varsayımları yaparak ilerleyelim:

  • Sırığın uzunluğu |AB|=L=2 m

  • Sırık üzerinde dönen nokta C var.

  • Şekil 1’de A ucu yerde (y=0), B ucu 6 m yüksekte (y=6)

  • Sırığın kafaya temas ettiği nokta C, Celal’in boyu 2 m yüksekte.

  • |AC|=c , |CB|=d

Pisagor Teoremi ile AC ve CB için uygulama:

Şekil 1:

c^2 = (x_1)^2 + (2)^2

d^2 = (x_1)^2 + (6 - 2)^2 = (x_1)^2 + 4^2 = (x_1)^2 + 16

Toplam:

c + d = 2

Burada x1 yatay mesafe, bilinmiyor.

Bu iki bilinmeyenli problem için bir çözüm yolu:

c^2 = x^2 + 2^2 = x^2 + 4

d^2 = x^2 + 16

Buna göre:

c = \sqrt{x^2 + 4}

d = \sqrt{x^2 + 16}

Ve

c + d = 2

Bununla c ve d’nin toplamının 2 olması mümkün değil, çünkü d > c \geq 2 gibi bir değer çıkıyor.

Sonuç:

Verilen uzunluklar ve yükseklikler birbirleriyle tutarsız. Sırığın toplam boyu 2 m iken uçları arasındaki mesafe kesinlikle 6 m olamaz.

Sorunun metni, fotoğrafı veya ölçüleri tekrar kontrol edilmeli.

Eğer yükseklik 6 cm ise veya sıra başka bir uzunlukta ise problem çözülebilir.

Özet:

  • Sırığın boyu 2 m ise uçları arasındaki düşey mesafe 6 m olamaz.

  • Sırığın kafaya temas ettiği noktanın yükseklik ve diğer veriler tutarsız.

  • Veriler netleştikten sonra tekrar çözüm yapılabilir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

2 metre boyundaki Celal, [AB] biçimindeki sırığı kafasına temas ettirerek Şekil 1 deki gibi tuttuğunda A ucu zeminde, B ucu da zeminden 6 metre yükseklikte durmaktadır. Celal, sırığı temas noktasını değiştirmeden çevirip Şekil 2 deki gibi tuttuğunda B ucu zeminde durmaktadır. Buna göre, Şekil 2 de de A ucunun zeminden yüksekliği x kaç metredir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir doğru parçacığı üzerindeki bir noktanın uçlara olan uzaklıklarının oranı, o noktanın uçlara göre doğrultu boyunca göreli konumunu verir. İki konumdaki doğrultu boyunca yükseklikler, uçların yükseklikleriyle doğru orantılıdır (doğrusal enterpolasyon).

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Temas noktasının çubuğun hangi oranında olduğunu bul

Çubuğun uzunluğunu L, A ile temas noktası arasındaki uzaklığı d olarak alalım.

Şekil 1’de:

  • A yüksekliği 0,
  • B yüksekliği 6,
  • Temas noktasının yüksekliği 2 (Celal’in boyu).

Temel ilişki:

y_P = y_A + \frac{d}{L}(y_B - y_A)

Şekil 1 için kurulum:

y_P = 2
y_A = 0
y_B = 6

Hesaplama:

2 = 0 + \frac{d}{L}(6 - 0)
2 = \frac{d}{L} \cdot 6
\frac{d}{L} = \frac{2}{6}
\frac{d}{L} = \frac{1}{3}

Sonuç: AP : PB = 1 : 2 (yani d = \tfrac{L}{3}).

Adım 2 — Şekil 2’de A ucunun yüksekliğini (x) bul

Şekil 2’de B zeminde (y_B = 0), A ise yüksekte (y_A = x). Temas noktası aynı konumda kalıyor, yani uçlardan olan oranlar değişmiyor.

Temas noktasının B’den uzaklığı:

\text{PB} = L - d

Hesaplama:

\frac{L - d}{L} = 1 - \frac{d}{L}
\frac{L - d}{L} = 1 - \frac{1}{3}
\frac{L - d}{L} = \frac{2}{3}

Şekil 2’de temas noktasının yüksekliği (biliniyor: 2 m) şöyle verilir:

2 = \frac{L - d}{L} \cdot x

Yerine koyma:

2 = \frac{2}{3} \cdot x

Çözüm:

x = 2 \cdot \frac{3}{2}
x = 3

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Doğrusal enterpolasyon

  • Tanım: Bir doğru segment üzerindeki bir noktanın, uçların değerleri arasında orantılı olarak konumlanması.
  • Bu problemde: Temas noktasının yüksekliği, uçların yükseklikleriyle orantılıdır.

2. Oran ve benzerlik

  • Tanım: İki uzunluğun oranı, benzer üçgenler veya doğrusal bölünmelerle ilişkilendirilebilir.
  • Bu problemde: AP : PB oranı kullanılarak diğer konumdaki yükseklik hesaplandı.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Temas noktasını sabit tutmadan uzunluk kabul etmek

  • Yanlış: Temas noktasının sabit olduğunu göz ardı edip d veya L değerlerini değiştirerek hesap yapmak.
  • Doğru: Temas noktası çubuk üzerinde sabit bir oran (burada 1/3) olarak kalır.
  • Neden yanlış: Temas noktası çubuğun göreli konumunu belirler; bunu değiştirmek sonucu hatalı yapar.
  • Düzeltme: Önce d/L oranını bulun, sonra diğer konumda aynı oranı kullanın.

:white_check_mark: CEVAP: x = 3 metre

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: