2 Gercel sayılar kümesinde tanimli bir f fonksiyonu íçin . f(x) > 0 • f(1) = 2 f(6) = 14 olduğu bilinmektedir. Buna göre f(3) + f(4) ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardı B) 17 C) 19 D) 23 A) 15 E) 25
!Resim [Link Silindi]
2 Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir f fonksiyonu için f(3) + f(4) ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- f’(x) > 0 olduğuna göre f(x) artandır.
- Artan fonksiyonlarda fonksiyonun grafiği yukarı doğrudur.
- Ortalama Değer Teoremi: f(b) - f(a) = f’(c)(b - a) için c ∈ (a, b).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — f’nin artan fonksiyon olduğunu kullan
- f’(x) > 0 olduğundan f artan fonksiyondur.
- Bu durumda f(1) = 2 ve f(6) = 14 verildiğine göre:f(1) = 2 < f(3) < f(4) < f(6) = 14
Adım 2 — f(3) ve f(4) için sınırları bul
- f(3) fonksiyonunun aldığı değer 2 ile 14 arasında olmalı.
- f(4) da 2 ile 14 arasında ve f(3) < f(4) olarak kalmalı.
Adım 3 — f(3) + f(4) toplamının alt ve üst sınırlarını bul
- En küçük toplam, f(3) ve f(4) değerleri mümkün olduğunca küçük iken olur.
- En büyük toplam, f(3) ve f(4) değerleri mümkün olduğunca büyük iken olur.
Sınırlar:
- Minimum toplam: f(3) yaklaşık olarak f(1)=2’ye yakındır ve f(4) > f(3).
En küçük durumda f(3) = 2 + küçük bir pozitif sayı, f(4) biraz daha büyüktür ama 14’e yaklaşamaz. - Maksimum toplam: f(4) değerine yaklaşarak 14’e doğru, f(3) ise ona kıyasla daha küçük ama yüksek değer alabilir.
Genel olarak:
f(3) + f(4) > 2 + 2 = 4
ve
f(3) + f(4) < 14 + 14 = 28
Ancak f(3) < f(4) ve ikisi arasında artan koşula dikkat etmek gerekir.
Adım 4 — İnterval belirleme ve kaç tam sayı değeri alabileceğini tahmin et
- f(3) > 2 ve f(4) < 14
- En küçük toplam \approx 2 + 3 = 5 (örneğin f(3) biraz büyük, f(4) hemen hemen f(3)+biraz)
- En yüksek toplam \approx 13 + 14 = 27
Bu durumda f(3) + f(4) 5 ile 27 arasında bir değer alabilir.
Bu aralıktaki tam sayıların sayısı:
27 - 5 + 1 = 23
Adım 5 — Doğru cevabı belirle
A seçenekleri içinde 23 sayısı D şıkkında vardır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 23
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
2 Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir f fonksiyonu için f(3) + f(4) ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- f’(x) > 0 ise f artandır.
- Artan ve türevlenebilir fonksiyon süreklidir; bu nedenle ara değerleri alabilir (Ara Değer Teoremi).
- İki eşitsizliğin toplanmasıyla toplam için sınır bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — f’nin artan olduğunu kullan
f’(x) > 0 olduğundan f artandır.
f(1)=2 < f(3) < f(4) < f(6)=14
Adım 2 — f(3) ve f(4) için aralık yaz
2 < f(3) < f(4) < 14
Adım 3 — Toplamın sınırlarını bul (eşitsizlikleri topla)
Toplama işlemini uygulamadan önce ifade:
2 < f(3) < f(4) < 14
İki içteki terimi toplayalım:
2 + 2 < f(3) + f(4) < 14 + 14
Her bir işlemi ayrı satırda gösterirsek:
2 + 2 = 4
14 + 14 = 28
Buna göre:
4 < f(3) + f(4) < 28
Adım 4 — Alınabilecek tam sayı değerlerini say
Açık aralıkta (4, 28) yer alan tam sayılar 5’ten 27’ye kadardır.
İlk tam sayı: 5
Son tam sayı: 27
Tam sayı adedi hesaplama:
27 - 5 + 1 = 23
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 23
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Artan fonksiyon
- Tanım: Tüm x için f’(x) > 0 ise f artandır.
- Bu problemde: f(1)=2 ve f(6)=14 olduğundan ara değerleri (2,14) aralığında alabilir.
- Ara Değer Teoremi
- Tanım: Sürekli fonksiyon bir aralıkta iki değer alıyorsa aradaki her değeri de alır.
- Bu problemde: f(3) ve f(4) için istenilen değerleri uygun şekilde seçerek istenen toplamları elde etmek mümkündür.
SIK YAPILAN HATALAR:
Eşitlik sanmak
- Yanlış: f(3) veya f(4) değerinin 2 veya 14 olabileceğini kabul etmek.
- Doğru: f(3) ve f(4) 2 ve 14’e eşit olamaz, sadece arasında olabilir.
- Neden yanlış: f(1)=2 ve f(6)=14 iken artanlık nedeniyle ara noktalar farklı olmalı.
- Düzeltme: Açık aralık (2,14) kullanılır; toplam için (4,28) bulunur.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?