2. a < 0 < b iken \(b\sqrt{a^{2}} + a\sqrt{b^{2}} + \sqrt{a^{2} - 2ab + b^{2}}\) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisinedir?

KPSS
1
  1. a<0<b bya +avb +ya-2ab+ b² ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangi- sine esittir? A) 2ab B) -2ab D) b-a HOCAM BENIM BAŞARIA C) a-b E) a+2b

!Resim [Link Silindi]

2

Verilen ifadeyi eşitleme sorusu

$$a < 0 < b$$ koşulu altında, aşağıdaki ifadeyi inceleyeceğiz:

bv\sqrt{a^2} + av\sqrt{b^2} + \sqrt{a^2 - 2ab + b^2}

:brain: Çözüm Adımları:

Adım 1 — Karekök içlerini sadeleştirme

  • \sqrt{a^2} = |a|
  • \sqrt{b^2} = |b|
  • \sqrt{a^2 - 2ab + b^2} = \sqrt{(a - b)^2} = |a-b|

Adım 2 — İşareti ve mutlak değerleri değerlendirme

  • a < 0 olduğundan, |a| = -a
  • b > 0 olduğundan, |b| = b
  • a < b olduğu için, a - b < 0 ve |a - b| = -(a - b) = b - a

Adım 3 — İfadeye geri koyma

İfade:

b \cdot |a| + a \cdot |b| + |a - b| = b(-a) + a(b) + (b - a) = -ab + ab + b - a

Burada -ab + ab = 0 olur.

Geriye kalan:

b - a

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: Cevap: D) b - a
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: Temel Kavramlar:

  • Mutlak Değer: Bir sayının pozitif değeri; işaretini kaldırır.
  • Karekök ve Karesi: \sqrt{x^2} = |x|
  • İşaretlerin doğru değerlendirilmesi mutlak değerlerin çözülmesinde önemlidir.

:warning: Yanlış Anlama:

  • Yanlış: Karekök altındaki ifadeyi direkt içindekinin işaretiyle düşünmek.
  • Doğru: Mutlak değeri kullanarak işaretleri doğru çözmek gerekir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

2. a < 0 < b iken b\sqrt{a^{2}} + a\sqrt{b^{2}} + \sqrt{a^{2} - 2ab + b^{2}} ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisinedir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • \sqrt{x^{2}} = |x| ve |x| = \begin{cases} x & x\ge 0\\ -x & x<0 \end{cases}

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Terimleri mutlak değer ile ifade et

İfadenin kurulu hali:

b\sqrt{a^{2}} + a\sqrt{b^{2}} + \sqrt{a^{2} - 2ab + b^{2}}

Birinci terim:

b\sqrt{a^{2}}

= b|a|

= b(-a) (çünkü a<0, yani |a|=-a)

= -ab

İkinci terim:

a\sqrt{b^{2}}

= a|b|

= ab (çünkü b>0, yani |b|=b)

Üçüncü terim:

\sqrt{a^{2}-2ab+b^{2}}

= \sqrt{(a-b)^{2}}

= |a-b|

= b-a (çünkü a-b<0 olduğundan |a-b|=-(a-b)=b-a)

Adım 2 — Tüm terimleri topla

İfadenin toplamı:

b\sqrt{a^{2}} + a\sqrt{b^{2}} + \sqrt{a^{2}-2ab+b^{2}}

= (-ab) + (ab) + (b-a)

= (-ab + ab) + (b-a)

= 0 + b - a

= b - a

:white_check_mark: CEVAP: D) b - a

TEMEL KAVRAMLAR:

1. \mathbf{mutlak\ değer}

  • Tanım: Bir sayının sıfıra olan uzaklığı; |x| her zaman \ge 0 olur.
  • Bu problemde: Karekök içindeki kareler \sqrt{x^{2}}=|x| ile dönüşür ve işaret bilgisine göre |a|=-a,\ |b|=b kullanıldı.

2. \mathbf{karekök\ ve\ kare\ ilişkisi}

  • Tanım: \sqrt{(u)^{2}}=|u|.
  • Bu problemde: \sqrt{a^{2}-2ab+b^{2}}=\sqrt{(a-b)^{2}}=|a-b| olarak sadeleştirildi.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: \mathbf{HATA:} \sqrt{a^{2}}=a varsaymak

  • Yanlış: \sqrt{a^{2}}=a yazmak.
  • Doğru: \sqrt{a^{2}}=|a|.
  • Neden yanlış: a negatif olabilir; karekök her zaman negatif olmayan değeri verir.
  • Düzeltme: İşaret bilgisine göre |a|=-a veya |a|=a kullanılmalı.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

4

kısa cevabı olsa