2.7x+¹ - 1 = 69 ise x aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Question Answer
1

2.7^{x+1} - 1 = 69 ise x aşağıdakilerden hangisine eşittir? (10 puan)
\ln e^{3} + \log \frac{1}{100} - \log_{2} 3 dot \log_{3} 2 ifadesinin eşiti kaçtır? (10 puan)
\log_{4} [12 + \log_{3} (x + 9)] = 2 olduğuna göre, x kaçtır? (10 puan)
\log_{2} (\log_{3} (x - 1)) < 1 eşitsizliğini sağlayan en küçük ve en büyük tam sayı değerleri toplamı kaçtır? (10 puan)

2.7x+¹ - 1 = 69 ise x aşağıdakilerden hangisine eşittir?
2.7x+¹ - 1 = 69 ise x aşağıdakilerden hangisine eşittir?1024×768 122 KB

2

Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar Yazılı Soru Çözümleri

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Logaritma tanımı gereği a^y = x \iff y = \log_a x bağıntısı kullanılır. Taban değiştirme kuralı \log_a b \cdot \log_b c = \log_a c ve logaritma özellikleri \ln(e^n) = n, \log(10^n) = n olarak uygulanır. Eşitsizliklerde logaritmanın tanım kümesi gereği iç kısımların sıfırdan büyük (> 0) olması zorunludur.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Soru 1: Üstel Denklemin Çözümü

2 \cdot 7^{x+1} - 1 = 69

  1. Sabit terimi karşıya atıp katsayıya bölelim:
    2 \cdot 7^{x+1} = 70 \implies 7^{x+1} = 35
  2. Logaritma tanımını uygulayarak üssü yalnız bırakalım:
    x + 1 = \log_7 35
  3. x değerini bulalım:
    x = \log_7 35 - 1 = \log_7 35 - \log_7 7 = \log_7\left(\frac{35}{7}\right) = \log_7 5

:white_check_mark: CEVAP 1: \log_7 5 veya \log_7 35 - 1

Soru 2: Logaritma Özellikleri ve Sadeleştirme

\ln e^3 + \log\left(\frac{1}{100}\right) - \log_2 3 \cdot \log_3 2

  1. Her bir terimi ayrı ayrı hesaplayalım:
    • \ln e^3 = 3 \ln e = 3 \cdot 1 = 3
    • \log\left(\frac{1}{100}\right) = \log(10^{-2}) = -2
    • \log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1 (Taban değiştirme zincir kuralı)
  2. İfadeleri yerine yazalım:
    3 + (-2) - 1 = 3 - 2 - 1 = 0

:white_check_mark: CEVAP 2: 0

Soru 3: Logaritmada Taban Değiştirme

\log_2 6 = a olduğuna göre \log_9 48 ifadesinin a cinsinden değeri:

  1. Verilen eşitliği açalım:
    \log_2 6 = \log_2(2 \cdot 3) = \log_2 2 + \log_2 3 = 1 + \log_2 3 = a \implies \log_2 3 = a - 1
  2. \log_9 48 ifadesini 2 tabanında yazalım:
    \log_9 48 = \frac{\log_2 48}{\log_2 9} = \frac{\log_2(16 \cdot 3)}{\log_2(3^2)} = \frac{\log_2 16 + \log_2 3}{2\log_2 3}
  3. \log_2 16 = 4 ve \log_2 3 = a - 1 değerlerini yerine yazalım:
    \log_9 48 = \frac{4 + (a - 1)}{2(a - 1)} = \frac{a + 3}{2a - 2}

:white_check_mark: CEVAP 3: \dfrac{a + 3}{2a - 2}

Soru 4: İçe İçe Logaritmik Denklem

\log_4 [12 + \log_3(x + 9)] = 2

  1. Dıştaki logaritmayı üstel forma çevirelim:
    12 + \log_3(x + 9) = 4^2 = 16
  2. İçteki logaritmayı yalnız bırakalım:
    \log_3(x + 9) = 16 - 12 = 4
  3. x değerini bulalım:
    x + 9 = 3^4 = 81 \implies x = 81 - 9 = 72

:white_check_mark: CEVAP 4: 72

Soru 5: Logaritmik Eşitsizlik ve Tanım Kümesi

\log_2(\log_3(x - 1)) < 1

  1. Tanım kümesi şartları:
    • En içteki ifade: x - 1 > 0 \implies x > 1
    • Dıştaki logaritmanın içi: \log_3(x - 1) > 0 \implies x - 1 > 3^0 = 1 \implies x > 2
  2. Eşitsizliğin çözümü:
    • Taban 2 olduğundan (2 > 1) eşitsizlik yön değiştirmez:
      \log_3(x - 1) < 2^1 = 2
    • Taban 3 olduğundan (3 > 1) eşitsizlik yine yön değiştirmez:
      x - 1 < 3^2 = 9 \implies x < 10
  3. Aralık ve Tam Sayılar:
    • Birleşim: 2 < x < 10
    • Sağlayan tam sayılar: \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}
    • En küçük tam sayı: 3
    • En büyük tam sayı: 9
    • Toplamları: 3 + 9 = 12

:white_check_mark: CEVAP 5: 12 (3 + 9)

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Logaritmik eşitsizliklerde dıştaki logaritmayı çözerken logaritmanın içinin pozitif olma şartını (\log_3(x-1) > 0) gözden kaçırmak alt sınırı hatalı bulmanıza yol açar. Her katmanda tanım aralığını mutlaka kontrol ediniz.

3

@Akademik_Rehber 12. sınıf düzeyinde cöz

4

12. Sınıf Düzeyinde Logaritma Yazılı Çözümleri

MEB 12. sınıf Matematik müfredatı logaritma kazanımlarına tam uyumlu, klasik yazılı sınavında öğretmenlerin tam puan verdiği basamaklı çözüm adımları şöyledir:

1. Soru

2 \cdot 7^{x+1} - 1 = 69

  • 1. Adım (Üstel İfadeyi Yalnız Bırakma):

    2 \cdot 7^{x+1} = 69 + 1
    2 \cdot 7^{x+1} = 70 \implies 7^{x+1} = 35

  • 2. Adım (Logaritma Tanımını Uygulama):
    a^y = b \iff y = \log_a b kuralı gereğince üs çekilir:

    x + 1 = \log_7 35

  • 3. Adım (x’i Bulma ve Özellik Uygulama):

    x = \log_7 35 - 1

    1 yerine \log_7 7 yazılır ve bölme kuralı uygulanır:

    x = \log_7 35 - \log_7 7 = \log_7\left(\frac{35}{7}\right) = \log_7 5

Cevap: x = \log_7 5 (veya \log_7 35 - 1)

2. Soru

\ln e^3 + \log\left(\frac{1}{100}\right) - \log_2 3 \cdot \log_3 2

  • 1. Adım (Terimleri Ayrı Ayrı İnceleme):

    • \ln e^3 = 3 \cdot \ln e = 3 \cdot 1 = 3 (\ln e = 1 kuralı)
    • \log\left(\frac{1}{100}\right) = \log(10^{-2}) = -2 \cdot \log 10 = -2 \cdot 1 = -2 (\log 10 = 1 kuralı)
    • \log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1 (Taban değiştirme kuralı gereği: \log_a b \cdot \log_b a = 1)

  • 2. Adım (Değerleri Yerine Yazma):

    3 + (-2) - 1 = 3 - 2 - 1 = 0

Cevap: 0

3. Soru

\log_2 6 = a olduğuna göre \log_9 48’in a cinsinden değeri:

  • 1. Adım (Verilen İfadeyi Parçalama):

    \log_2 6 = \log_2(2 \cdot 3) = \log_2 2 + \log_2 3 = a
    1 + \log_2 3 = a \implies \log_2 3 = a - 1

  • 2. Adım (İstenen İfadeyi 2 Tabanında Yazma):
    Taban değiştirme kuralı (\log_c b / \log_c a) uygulanır:

    \log_9 48 = \frac{\log_2 48}{\log_2 9}

  • 3. Adım (Çarpanlara Ayırıp Değerleri Yerine Koyma):

    \log_2 48 = \log_2(16 \cdot 3) = \log_2(2^4) + \log_2 3 = 4 + \log_2 3
    \log_2 9 = \log_2(3^2) = 2\log_2 3

    \log_2 3 = a - 1 değeri yerlerine yazılır:

    \log_9 48 = \frac{4 + (a - 1)}{2(a - 1)} = \frac{a + 3}{2a - 2}

Cevap: \dfrac{a + 3}{2a - 2}

4. Soru

\log_4 [12 + \log_3(x + 9)] = 2

  • 1. Adım (Dıştaki Logaritmayı Çözme):

    12 + \log_3(x + 9) = 4^2
    12 + \log_3(x + 9) = 16

  • 2. Adım (İçteki Logaritmayı Yalnız Bırakma):

    \log_3(x + 9) = 16 - 12
    \log_3(x + 9) = 4

  • 3. Adım (x Değerini Bulma ve Tanım Kontrolü):

    x + 9 = 3^4 \implies x + 9 = 81 \implies x = 72

    (Tanım kontrolü: 72 + 9 = 81 > 0 sağlandığı için kök geçerlidir.)

Cevap: 72

5. Soru

\log_2(\log_3(x - 1)) < 1

  • 1. Adım (Tanım Kümesi Şartları — Yazılıda Puan Getiren Kritik Kısım):

    • Logaritmanın içi pozitif olmalıdır:
      x - 1 > 0 \implies x > 1
    • Dıştaki logaritmanın içi de daima pozitif olmalıdır:
      \log_3(x - 1) > 0 \implies x - 1 > 3^0 \implies x - 1 > 1 \implies x > 2

  • 2. Adım (Eşitsizliğin Çözümü):
    Taban 2 > 1 olduğu için eşitsizlik yön değiştirmez:

    \log_3(x - 1) < 2^1 \implies \log_3(x - 1) < 2

    Taban 3 > 1 olduğu için eşitsizlik yön değiştirmez:

    x - 1 < 3^2 \implies x - 1 < 9 \implies x < 10

  • 3. Adım (Aralıkların Kesişimi ve Toplam):
    Tanım şartı (x > 2) ile eşitsizlik çözümü (x < 10) kesiştirilir:

    2 < x < 10

    Bu aralıktaki tam sayılar: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

    • En küçük tam sayı: 3
    • En büyük tam sayı: 9
    • Toplam: 3 + 9 = 12

Cevap: 12

5

@Akademik_Rehber anlatmadan çöz

6

1)

2 \cdot 7^{x+1} - 1 = 69
2 \cdot 7^{x+1} = 70
7^{x+1} = 35
x + 1 = \log_7 35
x = \log_7 35 - 1 = \log_7 35 - \log_7 7 = \log_7 5

2)

\ln e^3 + \log\left(\frac{1}{100}\right) - \log_2 3 \cdot \log_3 2
= 3\ln e + \log(10^{-2}) - 1
= 3(1) + (-2) - 1
= 0

3)

\log_2 6 = a \implies 1 + \log_2 3 = a \implies \log_2 3 = a - 1
\log_9 48 = \frac{\log_2 48}{\log_2 9} = \frac{\log_2(16 \cdot 3)}{\log_2(3^2)} = \frac{4 + \log_2 3}{2\log_2 3}
= \frac{4 + (a - 1)}{2(a - 1)} = \frac{a + 3}{2a - 2}

4)

\log_4 [12 + \log_3(x + 9)] = 2
12 + \log_3(x + 9) = 4^2 = 16
\log_3(x + 9) = 16 - 12 = 4
x + 9 = 3^4 = 81
x = 72

5)

\log_2(\log_3(x - 1)) < 1
  • \log_3(x - 1) > 0 \implies x - 1 > 1 \implies x > 2
  • \log_3(x - 1) < 2^1 \implies x - 1 < 3^2 \implies x < 10
2 < x < 10
  • En küçük tam sayı: 3
  • En büyük tam sayı: 9
\text{Toplam} = 3 + 9 = 12