2. Soru: Basamak Kavramı ve Toplama İşlemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Üç ve iki basamaklı doğal sayılar basamak değerlerine göre çözümlenir:
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İşlemi basamak çözümlemesi biçiminde yazma
Verilen toplama işleminde sayıları açarak eşitliği kuralım:
Adım 2 — Eşitliği sadeleştirme
Her iki taraftaki b terimlerini sadeleştirip benzer terimleri toplayalım:
Adım 3 — a, b, c rakam değerlerini belirleme
- a, b ve c birer rakamdır ve a \neq 0’dır.
- 110a \le 380 şartını sağlayan en uygun rakam a = 3’tür.
- a = 3 değerini yerine yazarsak:
- 10b + c = 50 eşitliğinde b ve c birer rakam olduğundan b = 5 ve c = 0 bulunur.
Adım 4 — İstenen ifadeyi hesaplama
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B seçeneğidir (15)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Basamak Çözümlemesi
- Tanım: Bir sayının, rakamlarının basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazılmasıdır.
- Bu problemde: abc sayısı 100a + 10b + c şeklinde açılarak bilinmeyenler kolayca bulunmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
a Değerini 2 Seçmek
- Yanlış: a = 2 alıp 10b + c = 160 elde etmek.
- Doğru: b ve c birer rakam olduğu için 10b + c en fazla 10(9) + 9 = 99 olabilir; bu nedenle a mutlaka 3 olmalıdır.
- Neden yanlış: Rakamların alabileceği maksimum değer 9’dur.
3. Soru: Şekilli Sayı Mantığı ve En Büyük Değer Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Şekil kuralına göre: Sarı dairedeki sayı, solundaki kutulara eklenerek sağdaki kutular elde edilir.
- Sağdaki iki kutunun çarpımı pembe üçgendeki sayıyı verir:
- İki tam sayının çarpımı sabitken, toplamlarının en büyük olması için çarpanlar birbirine en uzak seçilmelidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İlk şekilden kuralı doğrulama
- Üst taraf: 8 + 2 = 10
- Alt taraf: 6 + 2 = 8
- Pembe üçgen: 10 \cdot 8 = 80
Adım 2 — İkinci şekil için denklemi kurma
Sarı dairedeki değer c (c=2), pembe üçgendeki değer 48’dir:
Adım 3 — x + y toplamının en büyük değerini bulma
x ve y birer tam sayı olduğundan, x+2 ve y+2 çarpanlarını çarpımı 48 olan ve birbirine en uzak tam sayılar olarak seçeriz:
Adım 4 — Toplamı hesaplama
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D seçeneğidir (45)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çarpımları Sabit Olan Sayıların Toplamı
- Tanım: Çarpımları sabit pozitif tam sayılarda, toplamın en büyük olması için sayılar birbirinden mümkün olduğunca uzak seçilir.
- Bu problemde: 48’in çarpanları olarak 48 ve 1 seçilerek x+y maksimum yapılmıştır.
6. Soru: Sayı Kümeleri (Doğal, Rasyonel, Gerçel Sayılar)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Doğal Sayılar (\mathbb{N}): \{0, 1, 2, 3, \dots\}
- Rasyonel Sayılar (\mathbb{Q}): a, b \in \mathbb{Z} ve b \neq 0 olmak üzere \frac{a}{b} biçiminde yazılabilen sayılardır.
- Gerçel Sayılar (\mathbb{R}): Rasyonel ve irrasyonel sayıların tümünü kapsayan kümedir.
- Kapsama ilişkisi: \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — \sqrt{2} sayısını inceleme
- Doğal sayı mıdır? Hayır.
- Rasyonel sayı mıdır? Hayır (İrrasyoneldir).
- Gerçel sayı mıdır? Evet.
- Tik sayısı: 1 adet
Adım 2 — 2 sayısını inceleme
- Doğal sayı mıdır? Evet.
- Rasyonel sayı mıdır? Evet (2 = \frac{2}{1}).
- Gerçel sayı mıdır? Evet.
- Tik sayısı: 3 adet
Adım 3 — \frac{2}{3} sayısını inceleme
- Doğal sayı mıdır? Hayır.
- Rasyonel sayı mıdır? Evet.
- Gerçel sayı mıdır? Evet.
- Tik sayısı: 2 adet
Adım 4 — Toplam tik sayısını hesaplama
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D seçeneğidir (6)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Sayı Kümeleri Hiyerarşisi
- Tanım: Her doğal sayı aynı zamanda bir rasyonel sayı ve bir gerçel sayıdır.
- Bu problemde: 2 tam ve pozitif olduğu için üç kategoriye de dahil edilip 3 tik almıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Köklü İfadeleri Rasyonel Saymak
- Yanlış: \sqrt{2} sayısını rasyonel kabul edip tik atmak.
- Doğru: Tam kare olmayan köklü sayılar irrasyoneldir, dolayısıyla rasyonel sayı değildir.
- Neden yanlış: \sqrt{2} sayısı iki tam sayının oranı şeklinde yazılamaz.
Sayfadaki diğer soruların (1, 4 veya 5) çözümlerini de adım adım yapmamı ister misin?