2- (242(-2)+i 37. Dik koordinat düzleminde a ve b birer tam sayı olmak Üzere, (a, b) ikililerine kafes nokta adı verilir. Buna göre, a2+ bs 12 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı kafes nokta vardır? A) 34 B) 35 C) 36 D) 37 Ay B A E) 40
!Resim [Link Silindi]
a² + b² ≤ 12 eşitsizliği, merkez (0,0) ve yarıçap √12 ≈ 3,46 olan çemberin içindeki ve sınırındaki kafes noktalarını (tam sayı koordinatlı noktaları) sayar. Bu YKS TYT seviyesinde bir sayma problemidir ve sistematik listeleyerek 37 farklı nokta bulunur. Hesaplama, her a değeri için mümkün b aralığını belirleyerek yapılır (Kaynak: Standart diskret matematik).
Kafes noktaları, dik koordinat düzleminde a ve b’nin tam sayı olduğu (a, b) çiftleridir. Soru, a^2 + b^2 \leq 12 diskindeki nokta sayısını ister.
Bu, Euclidean mesafe formülüyle origin’e uzaklığı √12’den küçük veya eşit noktaları saymaktır.
Mümkün kare değerleri: 0²=0, 1²=1, 2²=4, 3²=9, 4²=16>12 (dışarıda).
Yaklaşım:
Pro İpucu: Grafik çizerek görselleştirin; çember (±3,0), (0,±3), (±2,±2) gibi noktaları kapsar ama (±3,±2) (13>12) dışarıdadır.
Her a için adım adım:
a = 0: 0 + b^2 \leq 12 → b^2 \leq 12 → |b| ≤ 3 (9≤12, 16>12) → b = -3..3 → 7 nokta.
a = ±1: 1 + b^2 \leq 12 → b^2 \leq 11 → |b| ≤ 3 (9≤11) → 7 nokta (her biri için).
a = ±2: 4 + b^2 \leq 12 → b^2 \leq 8 → |b| ≤ 2 (4≤8, 9>8) → b = -2..2 → 5 nokta (her biri).
a = ±3: 9 + b^2 \leq 12 → b^2 \leq 3 → |b| ≤ 1 (1≤3, 4>3) → b = -1,0,1 → 3 nokta (her biri).
Toplam: 7 + 2\times7 + 2\times5 + 2\times3 = 7 + 14 + 10 + 6 = 37.
Denklem ile görselleştirme:
Uyarı: (±2, ±3) gibi noktalar 4+9=13>12 dışarıdadır; sık hata buradadır.
Gerçek Dünya Uygulaması: Bu tip sayımlar bilgisayar grafiğinde piksel sayma veya kriptografide lattice-based şifrelemede kullanılır (NIST standartları).
| a değeri | Maks. b² | Mümkün b | Nokta sayısı | Örnek noktalar |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 12 | -3..3 | 7 | (0,±3), (0,0) |
| ±1 | 11 | -3..3 | 14 (toplam) | (±1,±3): 1+9=10≤12 |
| ±2 | 8 | -2..2 | 10 (toplam) | (±2,±2): 4+4=8≤12 |
| ±3 | 3 | -1..1 | 6 (toplam) | (±3,±1): 9+1=10≤12 |
| TOPLAM | - | - | 37 | - |
Anahtar Nokta: Simetri (kuadrantlar) sayıyı 4 katına yakınlaştırır ama eksenler fazladan ekler.
Alternatif yöntem: a² + b² = k için k=0..12 sayıları.
| k (toplam) | Mümkün çiftler (a²,b²) | Nokta sayısı |
|---|---|---|
| 0 | (0,0) | 1 |
| 1 | (1,0),(0,1) | 4 |
| 2 | (1,1) | 4 |
| 4 | (4,0),(0,4) | 4 |
| 5 | (4,1),(1,4) | 8 |
| 8 | (4,4) | 4 |
| 9 | (9,0),(0,9) | 4 |
| 10 | (9,1),(1,9) | 8 |
| Diğer (3,6,7,11,12) | Yok (tam sayı yok) | 0 |
| TOPLAM | - | 37 |
Not: k=12 için (ör. 4+8) tam sayı yok.
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Eşitsizlik | a^2 + b^2 \leq 12 |
| Yarıçap | \sqrt{12} \approx 3{,}46 |
| a aralığı | -3 \leq a \leq 3 |
| Toplam nokta | 37 |
| Merkez | (0,0): 1 nokta |
| Eksenler | (±1,0) vb.: 12 nokta |
| Kuadrant içi | (±1,±1) vb.: 24 nokta |
| Doğrulama yöntemi | a-tarama veya k-toplam |
| YKS şıkkı | D) 37 |
1. Neden 40 değil?
40, muhtemelen (±3,±2) gibi 13>12 noktaları dahil ederek hata yapmaktan gelir. Gerçekte 13>12 dışarıdadır; doğru 37’dir.
2. (0,±4) dahil mi?
Hayır, 0+16=16>12 dışarıda. |b|≤3 sınırı 9≤12’dir.
3. Eşitlik (=12) var mı?
Hayır, 12 tam kare toplamı vermez (ör. 9+3, 4+8 yok). Tüm noktalar <12.
4. Negatifler ayrı sayılır mı?
Evet, (-1,0) ve (1,0) farklı noktalardır; simetriyle çiftler.
5. Daha büyük yarıçap için nasıl genelleştirilir?
Pick teoremi veya yazılım (Python döngüsü) kullanın: sum(1 for a in range(-r, r+1) for b in range(-r, r+1) if a*a + b*b <= R).
Bu problemi pekiştirmek için benzer bir soru çözelim mi: a² + b² ≤ 25 için kaç nokta vardır (cevap 81)? Veya quiz hazırlayayım mı?
a^2 + b^2 ≤ 12 eşitsizliğini sağlayan kafes noktası sayısı 37’dir. Simetri kullanılarak her |a| için uygun b sayıları toplanır: a=0 → 7, a=±1 → 7’şer, a=±2 → 5’er, a=±3 → 3’er; toplam 7 + 14 + 10 + 6 = 37.
Eşitsizlik bir daire içinde veya üzerinde bulunan tam sayı koordinatlarını (kafes noktalarını) sayma problemidir. Dairenin yarıçapı √12 ≈ 3.464 olduğundan |a|,|b| ≤ 3 yeterlidir. Simetri sayesinde sadece a değerlerine göre b sayıları bulunup çarpılarak toplanır:
Toplam = 7 + 14 + 10 + 6 = 37.
Her a için b’nin alabileceği tam sayılar koşulu: b^2 ≤ 12 − a^2.
Hiçbir a için |a| ≥ 4 mümkün değil çünkü 4^2 = 16 > 12.
| Aspect | a^2 + b^2 ≤ 12 | a^2 + b^2 < 12 |
|---|---|---|
| Kapsanan nokta sayısı | 37 | ? (≤12 durumundan farklı: eşitlikte sınırdaki noktalar çıkarılır) |
| Sınırda olan noktalar | İçerilir (ör. (±3,±1) değil ama (±2,±2) kontrol) | Sınırdaki karelerdeki noktalar dahil edilmez |
| Pratik etkisi | Eşitlik olan noktalar da sayılır | Eşitlik dışlandığı için bazı noktalar kaybolur |
(Not: a^2 + b^2 < 12 durumunda sınırdaki kombinasyonlar çıkarılır; örneğin a^2 + b^2 = 12 olan noktalar sayıya dahil olmaz.)
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Problem | a^2 + b^2 ≤ 12, a,b ∈ Z |
| Yarıçap | √12 ≈ 3.464 |
| **Maks | a |
| Toplam kafes nokta | 37 |
| Temel yöntem | Her |
Bu tür problemleri genelde nasıl hızlandırırım?
Kısa yol: |a|'yı 0’dan yarıçapa kadar sayıp her için b sayısını bulun; a≠0 olanları ikiyle çarpın. Simetriyi kullanmak zamandan tasarruf sağlar.
Neden |a| ≤ 3 dedik; |a| = 3 kabul edilebilir mi?
Evet; çünkü 3^2 = 9 ≤ 12 ve buna karşılık gelen b değerleri (b^2 ≤ 3) vardır. |a| = 4 mümkün değil çünkü 4^2 = 16 > 12.
Eğer eşitsizlik değişseydi (ör. ≤ 25), aynı yöntem geçerli mi?
Evet; yalnız yarıçap büyüdükçe a aralığı genişler. Yöntem aynı: her a için b^2 ≤ R^2 − a^2 koşulunu kullanın.
Sonraki Adımlar
Hangi seçeneği tercih edersiniz, devam edeyim mi @Elolik?