2 13. X<y<0 olmak üzere, Vx² +6xy+9y2+ |y-x+ 1|-|- 2x|=7 olduğuna göre, y kaçtır? A) -1 B) -2 C) -3 D) -4 E) -5
Matematik Problemi: x < y < 0 olmak üzere, verilen ifadeye göre y’nin değeri nedir?
Önemli Noktalar
- Verilen ifade:\sqrt{x^2 + 6xy + 9y^2} + |y - x + 1| - |-2x| = 7
- Koşul: x < y < 0
- Amaç: y değerini bulmak.
İçindekiler
- İfadenin Parçalanması ve Sadeleştirilmesi
- Mutlak Değerlerin İncelenmesi
- Y ve X İlişkisini Kullanarak Çözüm
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
İfadenin Parçalanması ve Sadeleştirilmesi
Verilen denklemde karekök içindeki ifadeye bakalım:
x^2 + 6xy + 9y^2 = (x + 3y)^2
Bu ifade bir tam kareye dönüştü:
\sqrt{x^2 + 6xy + 9y^2} = |x + 3y|
Denklemimiz şu hale gelir:
|x + 3y| + |y - x + 1| - |-2x| = 7
Burada |-2x| = 2|x|.
Mutlak Değerlerin İncelenmesi
-
Durum 1: |x + 3y|
Öncelikle x < y < 0 olduğundan, y negatif ve x ondan daha küçük (daha negatif).
x + 3y terimi için işaret belirlenmeli. Örnek için değerler deneyelim:Örnek: x = -4, y = -2
x + 3y = -4 + 3 \times (-2) = -4 -6 = -10 < 0, yani |x + 3y| = -(x + 3y) = -x - 3y. -
Durum 2: |y - x + 1|
Burada y - x + 1’in işaretini bulalım.
y - x + 1 = y - x + 1
Örnek: x = -4, y = -2,
-2 - (-4) + 1 = -2 + 4 + 1 = 3 > 0
Yani bu mutlak değer kendi içi pozitifse değeri olduğu gibidir. -
Durum 3: |-2x| = 2|x|
Burada x<0 olduğundan |x| = -x, yani |-2x| = 2(-x) = -2x.
Y ve X İlişkisini Kullanarak Çözüm
Denklemi yazalım:
|x + 3y| + |y - x + 1| - |-2x| = 7
Örnek işaretleri koyarsak:
(-x - 3y) + (y - x + 1) - (2|x|) = 7
Burada |x| = -x:
(-x - 3y) + (y - x + 1) - 2(-x) = 7
Basitleştirelim:
(-x - 3y) + (y - x + 1) + 2x = 7
(-x -3y + y - x + 1 + 2x) = 7
Terimleri toplayalım:
(-x - x + 2x) + (-3y + y) + 1 = 7
(0) + (-2y) + 1 = 7
-2y + 1 = 7 \Rightarrow -2y = 6 \Rightarrow y = -3
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Karekök içini açma | x^2 + 6xy + 9y^2 = (x + 3y)^2 | ( |
| Mutlak değerleri işaret analizi | İşaret kontrolü x<y<0 ile yapıldı | ( |
| Denklem basitleştirme | -x - 3y + y - x + 1 + 2x = 7 | -2y + 1 = 7 |
| Sonuç | y = -3 | C şıkkı |
Sık Sorulan Sorular
1. Mutlak değeri açarken işaretler nasıl belirlenir?
Mutlak değerin içindeki ifadenin işaretini problemde verilen aralıklara göre test etmek gerekir. x < y < 0 gibi koşullar değerlerin işaretini tahmin etmemize yardımcı olur.
2. Neden |x + 3y| = -x - 3y olarak alındı?
Örnek sayılar denendiğinde x + 3y negatif olduğu için mutlak değerin işareti negatif’i gösterir.
3. Diğer şıklar neden doğru değil?
Denklem ve şıklarda y değerini bulmak için doğru işlemle çözüm yapıldığında sadece y = -3 sağlanır.
Sonraki Adımlar
Bu problemde mutlak değerli ifadelerin çözümü önemli. İsterseniz:
- Mutlak değerli denklemlerde işaret kontrolü nasıl yapılır detaylı açıklayayım mı?
- Başka örnek problemlerle pratiğe devam etmek ister misiniz?
x < y < 0 Koşulu Altında √(x² + 6xy + 9y²) + |y - x + 1| - |2x| = 7 Denkleminin Çözümü
Önemli Noktalar
- Denklemdeki karekök ifadesi (x + 3y)²’nin kareköküdür ve |x + 3y|'ye basitleşir.
- x < y < 0 olduğundan, |2x| = -2x ve |y - x + 1| = y - x + 1 (çünkü y - x > 0 ve +1 ile pozitif kalır).
- Basitleşmiş denklem: |x + 3y| + x + y = 6.
- Tek mümkün durum: x + 3y < 0, bu da y = -3 sonucunu verir.
- y = -3 için x < -3 aralığında denklem her x değeri için geçerlidir.
√(x² + 6xy + 9y²) + |y - x + 1| - |2x| = 7 denklemi, x < y < 0 koşulu altında y = -3 değerini alır. Bu, karekökün |x + 3y| olarak yazılması ve mutlak değerlerin işaretlerine göre basitleştirilmesiyle elde edilir. Denklem, y = -3 için x < -3 aralığında kimliksel olarak (her x için) tutulur ve seçenekler arasından C) -3 doğru cevaptır.
İçindekiler
- Denklemin Basitleştirilmesi
- Mutlak Değer Durumları ve Çözüm
- Doğrulama ve x Aralığı
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Denklemin Basitleştirilmesi
Verilen denklem:
√(x² + 6xy + 9y²) + |y - x + 1| - |2x| = 7,
x < y < 0 koşuluyla.
Adım 1: Karekök İfadesi
x² + 6xy + 9y² = (x + 3y)² (tam kare).
Dolayısıyla, √((x + 3y)²) = |x + 3y| (karekök her zaman mutlak değerdir).
Adım 2: |2x| Basitleştirmesi
x < 0 olduğundan, 2x < 0 ve |2x| = -2x.
- |2x| = 2x (negatif işaretle).
Adım 3: |y - x + 1| Basitleştirmesi
y > x olduğundan y - x > 0. +1 eklenince y - x + 1 > 1 > 0.
Dolayısıyla, |y - x + 1| = y - x + 1.
Basitleşmiş Denklem:
|x + 3y| + (y - x + 1) + 2x = 7
⇒ |x + 3y| + y - x + 1 + 2x = 7
⇒ |x + 3y| + x + y + 1 = 7
⇒ |x + 3y| + x + y = 6.
Uzman İpucu: Mutlak değerleri analiz etmeden önce her zaman işaret koşullarını (x < y < 0) kullanarak ifadeleri sadeleştirin. Bu, gereksiz durumları elemenizi sağlar.
Mutlak Değer Durumları ve Çözüm
Tek kalan mutlak değer |x + 3y| için iki durum incelenir.
Durum 1: x + 3y ≥ 0
Denklem: x + 3y + x + y = 6
⇒ 2x + 4y = 6
⇒ x + 2y = 3.
x < y < 0 koşulunda x + 2y < 3y < 0 (çünkü y < 0), ama 3 > 0. Çelişki! Bu durum imkansızdır.
Durum 2: x + 3y < 0
Denklem: -(x + 3y) + x + y = 6
⇒ -x - 3y + x + y = 6
⇒ -2y = 6
⇒ y = -3.
y = -3 < 0 koşulunu sağlar. x < y = -3 olmalıdır.
Kontrol: x + 3y < 0?
x + 3(-3) = x - 9. x < -3 olduğundan x - 9 < -12 < 0. Uygun.
Uyarı: Durum 1’in çelişkili olması, problemin tek çözümünü garanti eder. Mutlak değerlerde her zaman tüm olası işaret değişim noktalarını (burada x + 3y = 0) kontrol edin, ancak koşullar (x < y < 0) bazılarını otomatik eleyebilir.
Doğrulama ve x Aralığı
y = -3 için denklemi yerine koyun:
|x + 3(-3)| + x + (-3) = 6
⇒ |x - 9| + x - 3 = 6
⇒ |x - 9| + x = 9.
x < -3 olduğundan x - 9 < -12 < 0, yani |x - 9| = 9 - x.
9 - x + x = 9.
9 = 9. Denklem her x < -3 için geçerlidir (kimliksel eşitlik).
Orijinal Denkleme Dönüş:
√(x² + 6x(-3) + 9(-3)²) = √(x² - 18x + 81) = √((x - 9)²) = |x - 9| = 9 - x (x < -3 için).
|y - x + 1| = -3 - x + 1 = -x - 2.
- |2x| = 2x.
Toplam: (9 - x) + (-x - 2) + 2x = 9 - x - x - 2 + 2x = 7. Doğru.
Seçenekler: A) -1, B) -2, C) -3, D) -4, E) -5.
Sadece y = -3 (C) koşulu sağlar ve denklemi tutar. Diğerleri (örneğin y = -2 > -3 değil, ama x < y < 0 için test edilse de denklem bozulur).
Pratik Senaryo: Bu tür problemlerde YKS TYT’de mutlak değerler sıkça test edilir. Gerçek sınavda, basitleştirmeyi hızlı yapın ve çelişkili durumları eleyin – zaman kazandırır.
Anahtar Nokta: y’nin bağımsız olarak bulunması, x’in belirli bir değere bağlı olmadığını gösterir; aralıkta (x < -3) sonsuz çözüm vardır, ama y sabittir.
Özet Tablo
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Orijinal Denklem | √(x² + 6xy + 9y²) + |
| Karekök Basitleşmesi | |
| ** | 2x |
| ** | y - x + 1 |
| Basitleşmiş Denklem | |
| Mümkün Durum | x + 3y < 0 → y = -3 |
| x Aralığı | x < -3 (y = -3 için) |
| Doğrulama | y = -3 ile denklem kimliksel olarak tutulur |
| Cevap Seçeneği | C) -3 |
| YKS İpucu | Mutlak değerlerde işaret bölgelerini (x < y < 0) öncelikle kullanın |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden y = -3 için x belirli bir değer değil?
Denklem y = -3’ten sonra |x - 9| + x = 9 olur ve x < -3 aralığında bu her zaman geçerlidir. Soru sadece y’yi sorduğu için x aralığı yeterlidir; YKS’de benzer problemlerde değişken aralığı çözümün parçasıdır.
2. Diğer seçenekler (örneğin y = -2) neden yanlış?
y = -2 için |x + 3(-2)| + x - 2 = 6 → |x - 6| + x = 8. x < -2 olduğunda iki alt durum oluşur: Eğer x ≥ -6 ise x - 6 + x = 8 → 2x = 14 → x = 7 (ama x < 0 çelişkisi). x < -6 ise -(x - 6) + x = 8 → 6 = 8 çelişkisi. Hiçbiri tutmaz.
3. Karekökün mutlak değere dönüşümü neden önemli?
√(a²) = |a| her zaman pozitif olur. Burada (x + 3y) negatif olsa bile karekök pozitif kalır, bu da denklemin dengesini sağlar. YKS’de tam kareleri kaçırmayın – hızlı basitleştirme anahtardır.
4. x < y < 0 koşulu |y - x + 1|'i neden pozitif kılar?
y - x > 0 (y > x) ve +1 > 0 olduğundan toplam > 1. Bu, mutlak değeri kaldırmayı sağlar ve denklemi sadeleştirir. Koşulsuz hesaplarsanız hata yaparsınız.
5. Benzer problemlerde nasıl hızlı çözülür?
Önce ifadeleri sadeleştirin (tam kare, mutlak işaretler). Sonra durumları listeleyin ve koşulla çelişkileri eleyin. Burada tek durum kaldı ve y doğrudan çıktı – pratikle 1-2 dakikada çözülür.
Sonraki Adımlar
Bu YKS TYT sorusunu çözdük, şimdi pekiştirelim: Benzer bir mutlak değerli denklem için (örneğin |x + y| + |x - y| = 4) adım adım çözümümü ister misiniz, yoksa bu sorunun grafik temsilini (x-y düzleminde çözüm bölgesini) açıklayayım mı?