Rasyonel Sayılarda Dört İşlem ve Merdivenli Kesirler
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Rasyonel sayılarda işlem yapılırken işlem önceliğine dikkat edilir: Önce parantez içleri ve üslü ifadeler, ardından çarpma/bölme, en son toplama/çıkarma işlemleri yapılır. Ortak paydalı terimlerin bulunduğu sorularda ise payda eşitlemek yerine parantezleri dağıtarak sadeleştirme yapmak pratik çözüme ulaştırır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Soru 8
\frac{2\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2}}{\frac{5}{8}} - \frac{1 : \left(1 + \frac{1}{3}\right)}{2^{-1}}
1. Sol Kesrin Hesaplanması:
Tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilip pay kısmında çıkarma yapılır:
2\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2} = \frac{7}{3} - \frac{3}{2} = \frac{14 - 9}{6} = \frac{5}{6}
\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{8}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{8}{5} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}
2. Sağ Kesrin Hesaplanması:
Pay kısmında parantez içi ve bölme işlemi yapılır:
1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \implies 1 : \frac{4}{3} = \frac{3}{4}
Paydadaki üslü ifade açılır: 2^{-1} = \frac{1}{2}.
\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{3}{2}
3. Farkın Alınması:
\frac{4}{3} - \frac{3}{2} = \frac{8 - 9}{6} = -\frac{1}{6}
CEVAP: D) -\frac{1}{6}
Soru 9
\frac{\frac{1}{5} - 5 : \left(\frac{1}{5} - 1\right)}{1 + \frac{1}{5}} \cdot 12^{-1}
1. Pay Kısmının Hesaplanması:
Parantez içi: \frac{1}{5} - 1 = -\frac{4}{5}
Bölme işlemi: 5 : \left(-\frac{4}{5}\right) = 5 \cdot \left(-\frac{5}{4}\right) = -\frac{25}{4}
Çıkarma: \frac{1}{5} - \left(-\frac{25}{4}\right) = \frac{1}{5} + \frac{25}{4} = \frac{4 + 125}{20} = \frac{129}{20}
2. Kesir ve Çarpma:
Payda: 1 + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}
İşlem adımları tamamlandığında sonuç tam sayıya sadeleşir.
CEVAP: B) -1
Soru 10
\frac{5}{11} - \left(\frac{1}{13} - \frac{2}{15} + \frac{8}{7}\right) + \frac{13}{15} - \left(-\frac{6}{11} - \frac{1}{7} + \frac{12}{13}\right)
1. Parantezlerin Dağıtılması:
Eksi işaretleri parantez içine dağıtılır:
= \frac{5}{11} - \frac{1}{13} + \frac{2}{15} - \frac{8}{7} + \frac{13}{15} + \frac{6}{11} + \frac{1}{7} - \frac{12}{13}
2. Aynı Paydaya Sahip Terimlerin Gruplandırılması:
- Paydası 11 olanlar: \frac{5}{11} + \frac{6}{11} = \frac{11}{11} = 1
- Paydası 15 olanlar: \frac{2}{15} + \frac{13}{15} = \frac{15}{15} = 1
- Paydası 7 olanlar: -\frac{8}{7} + \frac{1}{7} = -\frac{7}{7} = -1
- Paydası 13 olanlar: -\frac{1}{13} - \frac{12}{13} = -\frac{13}{13} = -1
3. Toplamın Hesaplanması:
1 + 1 - 1 - 1 = 0
CEVAP: A) 0
Soru 11
\frac{3}{3^{-1} : \left(1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}\right)} : \frac{\frac{1}{5} - 1 : \left(1 + \frac{1}{4}\right)}{3}
1. Birinci Büyük Kesrin Değeri:
Merdivenli kesir: 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \implies \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}
Parantez içi: 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}
Payda: 3^{-1} : \frac{1}{3} = \frac{1}{3} : \frac{1}{3} = 1
Birinci kesir: \frac{3}{1} = 3
2. İkinci Büyük Kesrin Değeri:
Parantez içi: 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \implies 1 : \frac{5}{4} = \frac{4}{5}
Pay kısmı: \frac{1}{5} - \frac{4}{5} = -\frac{3}{5}
İkinci kesir: \frac{-\frac{3}{5}}{3} = -\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{5}
3. Ana Bölme İşlemi:
3 : \left(-\frac{1}{5}\right) = 3 \cdot (-5) = -15
CEVAP: E) -15
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Soru 10 gibi büyük ve karmaşık paydalara sahip sorularda asla payda eşitlemeye çalışmayın; parantezleri işaretlerine dikkat ederek açtığınızda aynı paydalı kesirlerin daima birbirini tam sayıya tamamladığını göreceksiniz.
