11.1Z,Q, dve R sayı kümeleri olmak üzere,
l. 5eN
IV -3e R
Itadelerinden hangileri doğrudur?
A) I ve ll
B) Ill ve IV
C) 1, l ve V
D) Il ve IV
E) II, II, V ve V
Sayı Kümeleri ve Eleman İlişkisi
ÇÖZÜM ADIMLARI & Öncül Analizi:
-
I. Öncül (\frac{6}{11} \in \mathbb{Z}):
\mathbb{Z} tam sayılar kümesidir (\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}). \frac{6}{11} bir basit kesirdir ve tam sayı belirtmez (\frac{6}{11} \approx 0{,}545). Dolayısıyla \frac{6}{11} \notin \mathbb{Z} olmalıdır. (Yanlış) -
II. Öncül (-\frac{3}{7} \in \mathbb{Q}):
\mathbb{Q} rasyonel sayılar kümesidir. a, b \in \mathbb{Z} ve b \neq 0 olmak üzere \frac{a}{b} biçiminde yazılabilen sayılardır. -3 ve 7 birer tam sayı olduğundan -\frac{3}{7} rasyonel bir sayıdır. (Doğru) -
III. Öncül (\sqrt{5} \in \mathbb{N}):
\mathbb{N} doğal sayılar kümesidir (\{0, 1, 2, 3, \dots\}). \sqrt{5} kök dışına tam sayı olarak çıkamaz; devretmeyen sonsuz bir ondalık açılıma sahip olduğundan irrasyonel bir sayıdır (\sqrt{5} \in \mathbb{Q}'). Dolayısıyla \sqrt{5} \notin \mathbb{N}'dir. (Yanlış) -
IV. Öncül (-3 \in \mathbb{R}):
\mathbb{R} gerçek (reel) sayılar kümesidir ve rasyonel ile irrasyonel sayıların birleşiminden oluşur (\mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}'). Negatif tam sayılar aynı zamanda birer reel sayıdır (\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}). Dolayısıyla -3 \in \mathbb{R} ifadesi doğrudur. (Doğru) -
V. Öncül (\frac{9}{2} \in \mathbb{Q}'):
\mathbb{Q}' irrasyonel sayılar kümesidir. \frac{9}{2} iki tam sayının oranı şeklinde yazılabildiği için rasyonel bir sayıdır (\frac{9}{2} \in \mathbb{Q}). Rasyonel sayılar irrasyonel olamaz (\mathbb{Q} \cap \mathbb{Q}' = \emptyset). Dolayısıyla \frac{9}{2} \notin \mathbb{Q}' olmalıdır. (Yanlış)
Sonuç ve Doğrulama:
Verilen öncüllerden yalnızca II ve IV ifadeleri doğrudur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D — II ve IV
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- \mathbb{N} (Doğal Sayılar): \{0, 1, 2, 3, \dots\}
- \mathbb{Z} (Tam Sayılar): \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}
- \mathbb{Q} (Rasyonel Sayılar): a, b \in \mathbb{Z} ve b \neq 0 olmak üzere \frac{a}{b} formundaki sayılar.
- \mathbb{Q}' (İrrasyonel Sayılar): Rasyonel olmayan, kök dışına tam çıkamayan (\sqrt{2}, \sqrt{5} vb.) ve \pi, e gibi sayılar.
- \mathbb{R} (Gerçek Sayılar): Bütün bu sayı kümelerini kapsayan en geniş küme (\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}).
Sayı kümeleri arasındaki kapsama ilişkisini pekiştirmek için benzer bir örnek daha çözmek ister misin?