OSYMJ KÖşEsi.
1Ocak 2015’te yapılan nüfus sayımında nüfusu
E
810 000 olan bir şehrin, 2016’dan 2023’e kadar her
sene 1 Ocak’ta nüfus sayımi yapılmışstır. 2015’ten sonra
yapilan ilk dört yıldaki nüfus sayimlarinın her birinde
yilın her birinde ise nüfus bir önceki yıla göre
1
10
11
oranında artmiştir.
Buna göre, bu şehrin 1 Ocak 2023’te yapılan nüfus
sayiminda nüfusu kaç olmuştur?
A) 220
B) 313
C) 69
TYT- 2023
D) 68
E) 106
Yıllara Göre Nüfus Artışı Problemi (TYT 2023)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir büyüklük bir önceki duruma göre \frac{a}{b} oranında artıyorsa, yeni miktar bir öncekinin \left(1 + \frac{a}{b}\right) katı olur.
N_{\text{yeni}} = N_{\text{eski}} \cdot \left(1 + \text{Artış Oranı}\right)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Yıllık Çarpanların Belirlenmesi
- İlk 4 yıl (2016, 2017, 2018, 2019): Her yıl nüfus \frac{1}{10} oranında arttığı için nüfus bir önceki yılın:
1 + \frac{1}{10} = \frac{11}{10} \text{ katına çıkar.}
4 yılın sonunda oluşan kümülatif çarpan: \left(\frac{11}{10}\right)^4 olur.
- Sonraki 4 yıl (2020, 2021, 2022, 2023): Her yıl nüfus \frac{1}{11} oranında arttığı için nüfus bir önceki yılın:
1 + \frac{1}{11} = \frac{12}{11} \text{ katına çıkar.}
4 yılın sonunda oluşan kümülatif çarpan: \left(\frac{12}{11}\right)^4 olur.
Adım 2 — Başlangıç Değerinin ve Tüm Çarpanların Birleştirilmesi
2015 yılındaki nüfus 810\,000 olarak verilmiştir. Bu sayıyı üslü biçimde yazalım:
810\,000 = 81 \cdot 10^4 = 3^4 \cdot 10^4
1 Ocak 2023’teki nüfusu bulmak için başlangıç değerini tüm çarpanlarla çarpalım:
N_{2023} = 810\,000 \cdot \left(\frac{11}{10}\right)^4 \cdot \left(\frac{12}{11}\right)^4
Adım 3 — Sadeleştirme ve Üslü Sayı İşlemleri
Ortak üs parantezinden veya doğrudan pay-payda sadeleştirmesinden yararlanalım:
N_{2023} = 3^4 \cdot 10^4 \cdot \frac{11^4}{10^4} \cdot \frac{12^4}{11^4}
- Pay ve paydadaki 10^4 ifadeleri birbirini götürür.
- Pay ve paydadaki 11^4 ifadeleri birbirini götürür.
Geriye kalan ifade:
N_{2023} = 3^4 \cdot 12^4
Üsler eşit olduğundan tabanlar çarpılır:
N_{2023} = (3 \cdot 12)^4 = 36^4
36 = 6^2 olduğuna göre:
N_{2023} = (6^2)^4 = 6^{2 \cdot 4} = 6^8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 6^8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Oransal Artış: Bir miktar x kadar artıyorsa yeni miktar 1+x katı olur.
- Üslü Sayılarda Çarpma: Üsleri aynı olan sayıların tabanları çarpılır (a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n).
- Üssün Üssü: (a^m)^n = a^{m \cdot n} kuralı uygulanır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Artışları her yıl için ayrı ayrı toplayıp 810\,000 ile çarpmaya çalışmak (bileşik artış yerine basit artış uygulamak).- Doğru Yaklaşım: Artışlar “bir önceki yıla göre” gerçekleştiği için her yılı bir çarpan \left(1 + \frac{a}{b}\right) olarak ele alıp ardışık çarpmak.
Bu çözümdeki sadeleştirme mantığını pekiştirmek için benzer bir üslü sayı sorusu çözmek ister misin?