1’den n’ye kadar olan ardışık tam sayıların toplamı x, 13’ten
X+ y = 522
olduğuna göre n kaçtr2
1’den n’ye ve 13’ten n’ye Kadar Olan Ardışık Sayıların Toplamı ile n Değerini Bulma
KULLANILAN FORMÜL:
1’den n’ye kadar olan ardışık tam sayıların toplam formülü:
\sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n \cdot (n+1)}{2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — x ve y Toplamlarının Farkını (x - y) Belirleme
Soruda verilen tanımlara göre:
- x = 1 + 2 + 3 + \dots + 12 + 13 + \dots + n
- y = 13 + 14 + \dots + n
x ifadesinden y ifadesini çıkardığımızda 13’ten n’ye kadar olan terimler sadeleşir ve geriye 1’den 12’ye kadar olan sayıların toplamı kalır:
x - y = 1 + 2 + 3 + \dots + 12
x - y = \frac{12 \cdot 13}{2} = 6 \cdot 13 = 78
Adım 2 — Taraf Tarafa Toplama ile x Değerini Bulma
Elimizdeki iki denklemi alt alta toplayalım:
x + y = 522
x - y = 78
(x + y) + (x - y) = 522 + 78
2x = 600 \implies x = 300
Adım 3 — Toplam Formülünü Kullanarak n Değerini Hesaplama
x, 1’den n’ye kadar olan sayıların toplamı olduğuna göre:
\frac{n \cdot (n+1)}{2} = 300
n \cdot (n+1) = 600
Ardışık iki sayının çarpımı 600 olmalıdır. 24 \cdot 25 = 600 olduğundan:
n = 24
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: n = 24
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Gauss Toplamı (Ardışık Sayılar Toplamı)
- Tanım: 1’den başlayarak ardışık giden pozitif tam sayıların toplamını \frac{n(n+1)}{2} pratik formülü ile bulma yöntemidir.
- Bu problemde: Hem 1’den 12’ye kadar olan sayıların toplamı olan 78’i bulmak için hem de x = 300 eşitliğinden n’yi elde etmek için kullanılmıştır.
2. İki Bilinmeyenli Denklem Sistemi
- Tanım: İki farklı bilinmeyeni içeren iki denklemin taraf tarafa yok etme metoduyla çözülmesidir.
- Bu problemde: x + y = 522 ve x - y = 78 denklemleri toplanarak y değişkeni yok edilmiş ve doğrudan x değeri bulunmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
x - y Farkını Bulurken Terim Sayısını Yanlış Belirlemek
- Yanlış: 13’ten başladığı için farkı 1’den 13’e kadar olan sayıların toplamı (1+2+\dots+13) olarak almak.
- Doğru: y kümesinde 13 bulunduğu için fark yalnızca 1’den 12’ye kadar olan sayıların toplamıdır (1+2+\dots+12 = 78).
- Neden yanlış: 13 sayısı her iki ifadede de ortak olduğu için çıkarma işleminde birbirini götürür.
Bu konuyu pekiştirmek için ardışık tek veya çift sayıların toplamı ile ilgili benzer bir soru çözmemi ister misin?