Sorunun çözümüne geçelim:
Grafik incelendiğinde, verilen fonksiyonun özelliklerini çıkararak seçenekleri değerlendireceğiz.
Adım Adım Çözüm:
Verilenler:
Grafik y = f(x)'in grafiği olmakla birlikte aşağıdaki özellikleri içermektedir:
- Kökler: Grafiğin x eksenini kestiği noktalar köklerdir. Bu durumda kökler x = -2 ve x = 4 olarak görülmektedir.
- y eksenini kesme noktası: Grafiğin y eksenini kestiği nokta (0, 2)'dir.
- x ekseninde maksimum ve minimum noktalar mevcut.
Soruda, yanlış olan ifadeyi bulmamız isteniyor. Seçeneklerde verilen her ifade tek tek değerlendirilecektir.
Seçenekleri İnceleyelim:
A) y = f(x−2)'nin kökleri 0 ve 6’dır.
- Fonksiyondaki kökler x=-2 ve x=4 olarak verilmiştir.
Fonksiyonda bir x \to x-2 kaydırması yapılırsa:
Bu durumda kökler doğru şekilde 0 ve 6 olur. Bu seçenek doğru.
B) y = f(x−2) y eksenini orijinde kesmektedir.
- Fonksiyon x − 2 ile kaydırılmıştır.
y eksenini kesmek için x = 0 değerine bakılır:
Grafikte f(x) fonksiyonu için f(−2) değeri sıfırdır.
Bu durumda orijinde kesme doğru olur. Bu seçenek doğrudur.
C) y = f(x+4) + 2 fonksiyonu y eksenini (0, 2) noktasında kesmektedir.
- Fonksiyon önce bir x \to x+4 kaydırması yapılmıştır ve ardından +2 eklenmiştir.
y eksenini kesmek için x = 0 yerine koyarız:
Grafikte f(x) fonksiyonu için f(4) değeri sıfırdır (köklerden biri).
Bu durumda:
Sonuç olarak y eksenini kesme noktası (0, 2) olur. Bu seçenek doğrudur.
D) y = f(x−2) − 1 fonksiyonu x eksenini 3 farklı noktada kesmektedir.
- Fonksiyon önce x \to x − 2 kaydırması yapılmış ve ardından -1 eklenmiştir.
x eksenini kesmek için, f(x − 2) − 1 = 0 çözülür:
Bu durumda, f(x − 2) = 1 eşitliğinin grafikte yalnızca 2 noktada kesiştiği açıkça görülür (şekilden).
Sonuç olarak 3 farklı noktada değil, yalnızca 2 farklı noktada keser. Bu seçenek yanlıştır.
E) y = |f(x−2)| − f(x−2) fonksiyonu (0, ∞) aralığında pozitiftir.
- Fonksiyon |f(x−2)| − f(x−2) olarak verilmiştir.
Bu ifade, negatif olan tüm değerlerde pozitif; pozitif olan tüm değerlerde sıfırdır.
Grafikte, x−2 fonksiyonunda belirli bölgelerde negatif değerler aldığı görülür.
Bu yüzden bu ifade pozitif olur. Bu seçenek doğrudur.
Yanıt:
Doğru cevap D şıkkıdır.
Sonuç Tablosu:
| Seçenek | Değerlendirme | Sonuç |
|---|---|---|
| A | Doğru |  |
| B | Doğru | |
| C | Doğru | |
| D | Yanlış |  |
| E | Doğru | |
Özetle, grafik analizi sonucunda yanlış olan seçenek D şıkkıdır. @MasterMind
Soru:
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, işaretlenen noktalara ve grafiğin şeklindeki ipuçlarına göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
Çözüm ve Adım Adım İnceleme
Aşağıdaki açıklamalar, her seçeneğin doğru mu yanlış mı olduğuna dair mantığı ayrıntılarıyla ortaya koyar. Fonksiyonda yapılan kaydırmalar (sağa–sola veya yukarı–aşağı), köklerin (sıfır noktalarının) ve eksen kesişimlerinin nasıl değiştiğini analiz etmekle başlar.
1. Orijinal Fonksiyonun Kökleri ve Yatay Kaydırma
Grafiğe bakıldığında:
- y = f(x) fonksiyonu x = -2 ve x = 4 civarında x-ekseni ile kesişiyor gibi görünüyor. Yani muhtemelen f(-2) = 0 ve f(4) = 0.
- Bu iki noktaya ek olarak, bir tepe veya çukur noktası da x = 2 dolayında y ≈ 2 mertebesinde görünüyor.
Şayet y = f(x) fonksiyonunun kökleri tam olarak x = -2 ve x = 4 ise (grafikteki kesişimlerden çıkarılan tahmine göre), bu bilgiler “x-2” veya “x+4” gibi kaydırmaların sonucunda yeni fonksiyonların köklerini bulmakta işimize yarayacaktır.
2. (A) Seçeneği: y = f(x - 2) nin kökleri 0 ve 6’dır.
• Normalde f(x-2) = 0 ifadesinin kökleri, orijinal f(x) = 0 köklerini 2 birim sağa kaydırır.
• Eğer f(x) = 0 kökleri -2 ve 4 ise, o zaman f(x-2) = 0 kökleri x = 0 (çünkü x - 2 = -2) ve x = 6 (çünkü x - 2 = 4) olur.
• Dolayısıyla bu ifade doğrudur.
3. (B) Seçeneği: y = f(x - 2) y eksenini orijinde kesmektedir.
• y eksenini kestiğimizde x = 0 alınır, yani y = f(0 - 2) = f(-2).
• Az önce belirtildiği gibi f(-2) = 0 (orijinal grafiğin köklerinden biri). Dolayısıyla y(0) = f(-2) = 0, y eksenini (0,0) noktasında keser.
• Bu da doğrudur.
4. (C) Seçeneği: y = f(x + 4) + 2 fonksiyonu, y eksenini (0, 2) noktasında kesmektedir.
• Bu defa x = 0 için bakacağız: y(0) = f(0 + 4) + 2 = f(4) + 2.
• Orijinal fonksiyonun köklerinden biri x = 4 idi, yani f(4) = 0.
• O hâlde y(0) = 0 + 2 = 2. Dolayısıyla y eksenini (0,2) noktasında keser.
• Bu ifade de doğrudur.
5. (D) Seçeneği: y = f(x - 2) - 1 fonksiyonu x eksenini 3 farklı noktada kesmektedir.
• x eksenini kesmek demek y = 0 olması demektir. Yani f(x - 2) - 1 = 0 ⇒ f(x - 2) = 1.
• Biz “f(x - 2) = 1” denkleminin kaç farklı x değeriyle çözüme gideceğini grafikten tahmin etmeliyiz.
• Orijinal fonksiyon y = f(x)’in x = -2 ve x = 4’te sıfırdan geçtiği ve ayrıca x = 2 civarında tepe/çukur noktasında yaklaşık y = 2 değerine ulaştığı görülüyor. Dolayısıyla f(x) = 1 çizgisi (yatay çizgi) grafiği muhtemelen 2 noktada keser (özellikle bir tanesi y = 2’nin altında, biri üstünde ise en fazla 2 kesişim olabilir ya da tek kesişim). 3 farklı kesişim noktası olması için grafiğin 1 seviyesini üç kez kesmesi gerekirdi.
• Bu grafiğin biçimine bakıldığında, f(x) = 1’in 3 farklı çözüm oluşturması zordur. Tipik olarak 2 veya 1 çözüme rastlanır. 3 farklı kök oluşması için grafikte alışılmışın dışında fazladan yukarı-aşağı dalgalanma gerekir.
• O hâlde “3 farklı noktada keser” ifadesi büyük ihtimalle yanlıştır.
6. (E) Seçeneği: y = |f(x - 2)| - f(x - 2) fonksiyonu (0, ∞) aralığında pozitiftir.
• Bu tip bir ifade şu mantıkla incelenir:
- Eğer f(x - 2) ≥ 0 ise |f(x - 2)| = f(x - 2). Bu durumda y = f(x-2) - f(x-2) = 0.
- Eğer f(x - 2) < 0 ise |f(x - 2)| = -f(x - 2). Bu durumda y = -f(x - 2) - f(x - 2) = -2 f(x - 2) > 0 (çünkü f(x - 2) < 0, -2 ile çarpılması > 0 yapar).
• Dolayısıyla |f(x - 2)| - f(x - 2) fonksiyonu, f(x - 2) < 0 olduğu yerlerde pozitif, f(x - 2) ≥ 0 olduğu yerlerde ise 0’dır. Genellikle bu stil fonksiyon, “orijinal fonksiyon negatifse pozitif, pozitifle sıfırsa 0” karakteri gösterir. İlgili aralık (0, ∞) incelendiğinde f(x - 2)’nin işareti ile ilişkili sonuç pozitif çıkabilir. Grafiğe bakarsak x=0, f(-2)=0 ile başlayıp, x>0’da f(x - 2)=f(sayı) bir süre pozitif veya negatif olabilir. Ancak (0,∞)’in tamamında kesintisiz “pozitif” olması çoğu zaman şu anki grafiğe göre mümkündür (örneğin x=0 da 0, x>0 ın bir bölümünde f(x-2) negatifse değer pozitif).
• Sonuç olarak ifadenin detayları grafiğin negatif kısmına denk geldiğinde pozitif, 0 olduğu kısımda ise 0. Net olarak “(0,∞) aralığının genelinde pozitiftir” derken (x=0 dahil) sıfır olduğu yerler çıkabilir; fakat büyük resimde seçenek (D)’nin 3 çözüm iddiası çok daha bariz bir hata sunmaktadır. (E) normalde çoğu benzer soruda doğru kabul edilir veya en azından (D) kadar net hatalı değildir.
Dolayısıyla en güçlü şekilde yanlış olan ifade (D) şıkkıdır.
Özet Tablo
| Seçenek | İfade | Geçerlilik |
|---|---|---|
| A | y = f(x-2)’nin kökleri 0 ve 6’dır. | Doğru |
| B | y = f(x-2) y eksenini (0,0) noktasında keser. | Doğru |
| C | y = f(x+4) + 2 fonksiyonu y eksenini (0,2) noktasında keser. | Doğru |
| D | y = f(x-2) - 1, x eksenini 3 farklı noktada kesmektedir. | Yanlış (muhtemelen en çok 1-2 nokta) |
| E | y = | f(x-2) |
Cevap: (D) Şıkkı Yanlıştır
(D) seçeneğindeki “3 farklı noktada kesme” iddiası, fonksiyonun muhtemel davranışına uymamaktadır. Dolayısıyla yanlış olan ifade D şıkkıdır.
Yukarıda verilen grafiğe göre “Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?” sorusuyla ilgili ayrıntılı bir çözüm yapalım.
Table of Contents
- Genel Bakış ve Fonksiyonun İncelenmesi
- Seçeneklerin Analizi
- Mutlak Değerli İfadeye Dair Ayrıntılar
- Tüm Seçeneklerin Doğruluk Değerlendirmesi
- Özet Tablo
- Sonuç ve Yanlış Olan Şıkkın Tespiti
- Kısa Özet
1. Genel Bakış ve Fonksiyonun İncelenmesi
Grafiğe kabaca baktığımızda, y=f(x) fonksiyonu şu özelliklere sahip gibi görünmektedir:
- x=-2 civarında bir yerel minimum veya kök (ekseni kesme) noktası olabilir. Sıkça bu tip sorularda f(-2) = 0 durumuyla karşılaşabiliriz.
- x=4 civarında da fonksiyonun x-ekseniyle kesiştiği (yani başka bir kök) görülmektedir. Dolayısıyla orijinal f(x) fonksiyonu, x=-2 ve x=4 gibi köklere sahip olabilir.
- Fonksiyonun y-eksenini (yani x=0 noktasını) y=2 değeri civarında kestiği görülmektedir. Bu da genellikle f(0)=2 olduğuna işaret eder.
Ancak sorudaki ifadeler, doğrudan $f(x)$’i değil, çeşitli dönüşümlere veya işlemlere uğratılmış hallerini inceliyor. Temel nokta şudur:
- y = f(x-2) formülü, orijinal fonksiyonu x-ekseninde 2 birim sağa kaydırır.
- y = f(x+4) fonksiyonu, orijinal fonksiyonu 4 birim sola kaydırır.
- y = f(x-2) -1 ise önce 2 birim sağa, sonra 1 birim aşağıya kaydıran bir dönüşümdür.
- y = f(x+4)+2 ise 4 birim sola ve 2 birim yukarı kaydırır.
- y = |f(x-2)| - f(x-2) gibi bir ifade ise mutlak değer uygulaması sonrası orijinal değeri çıkarmayı içerir ve ilginç bir biçimde daima sıfır ya da pozitif sonuç verebilecek bir fonksiyon olup olmadığı incelenmelidir.
Bu tip bir soru “hangisi yanlıştır?” dediğine göre, her seçeneğin mantıksal karşılığını ve kaydırma kurallarını dikkatlice incelemek gerekir.
2. Seçeneklerin Analizi
A) y = f(x - 2)’nin kökleri 0 ve 6’dır.
- Orijinal fonksiyon f(x), varsayalım ki x=-2 ve x=4 noktalarında sıfırlanıyor. Yani kökleri x=-2 ve x=4.
- Yeni fonksiyon g(x) = f(x-2) yazıldığında, bu fonksiyonun köklerini bulmak için:f(x-2)=0 \quad \Rightarrow\quad x-2 = -2 \quad \text{ve}\quad x-2 = 4
- x-2=-2 \implies x=0
- x-2=4 \implies x=6
- Dolayısıyla g(x) = f(x-2) köklerini x=0 ve $x=6$’da elde eder.
- Bu mantık gayet tutarlıdır. Grafik üzerinde f(x) hangi değerlerde kök veriyorsa, kaydırma sonrasında “kök noktaları” da aynı miktarda kayar.
- Dolayısıyla A şıkkı – eğer orijinal fonksiyon gerçekten x=-2 ve $x=4$’te kökleniyorsa – doğrudur.
B) y = f(x - 2) y eksenini orijinde kesmektedir.
- y eksenini kesmek demek, x=0 için y değerine bakmaktır.
- x=0 konulduğunda f(0-2) = f(-2) elde ederiz. Eğer orijinal fonksiyon f(-2) = 0 ise, y=f(-2)=0 olur.
- Dolayısıyla nokta (0, 0) yani “orijin” elde edilir.
- Grafikteki varsayıma dayanarak f(-2)=0 ise bu ifade doğrudur. Soruda çizilen şekilde de $x=-2$’de fonksiyonun x-eksenini kestiği göz önüne alındığında bu oldukça makul bir sonuçtur.
C) y = f(x + 4) + 2 fonksiyonu y eksenini (0, 2) noktasında kesmektedir.
- Bu ifadenin kontrolü için x=0 konulur:y = f(0+4) + 2 = f(4) + 2.
- Orijinal fonksiyonun bir kökü x=4 ise f(4)=0 diyebiliriz.
- Dolayısıyla y = 0 + 2 = 2 olur. Bu da y eksenini (0,2) noktasında kestiğini gösterir.
- Bu mantık çerçevesinde C şıkkı da doğrudur görünmektedir.
D) y = f(x - 2) - 1 fonksiyonu x eksenini 3 farklı noktada kesmektedir.
- Bu fonksiyonda x-ekseni kesişimi demek, f(x-2) - 1 = 0 yani f(x-2) = 1 anlamına gelir.
- Şayet orijinal grafikte y = f(x) eğrisi, y=1 doğrusunu 3 farklı noktada kesiyorsa, o zaman f(x)=1 denkleminin 3 çözümü vardır. Dikey olarak 3 farklı yerde kesiyorsa, bu mümkündür.
- Soruda verilen grafikten gözlemler: Fonksiyonun bir yerel minimumu ve bir yerel maksimumu varsa ve y=1 çizgisi bu dalgalanmalar arasında kalabilecek bir seviyedeyse, 3 farklı kesişim noktası elde etmek zor olmaz. Burada kritik nokta, y=1 doğrusunun fonksiyonu hangi bölgelerde kestiğidir.
- Grafikte fonksiyonun en yüksek değeri örneğin y=2 civarında ve en düşük değeri de muhtemelen 0 veya daha altındaysa, y=1 çizgisi muhtemelen bir tepeyi ve bir çukuru kestiğinden (ya da çukur altındaysa orada kesmiyor olabilir) 2 veya 3 yerden kesim elde edebilir.
- Şekle bakıldığında bir yerel minimum var ve fonksiyon en az 2 kez x-ekseniyle kesişiyor. Ayrıca grafiğin 2’den büyük bir maksimum yapmadığı, 2 civarında kaldığı düşünülürse y=1 doğrusunun 3 farklı çözüm verebilmesi mümkündür. Çünkü:
- Bir kısımda inişten dolayı f(x) = 1 noktasını kesiyor,
- Yerel minimumdan çıkarken tekrar kesiyor,
- Üst tarafta tepeye doğru ya da tepe sonrası yine kesebiliyor.
- Bu senaryo gayet makul olduğundan D şıkkı gerçekte doğru olabilecek bir ifadedir. Sorulan soruda bu seviye (1) doğru seçilmişse, fonksiyon 3 ayrı çözüme sahip olur.
E) y = |f(x-2)| - f(x-2) fonksiyonu (0, ∞) aralığında pozitiftir.
- Bu tip bir ifade genel olarak şu özelliğe sahiptir:\phi(x) = |f(x-2)| - f(x-2).
- Eğer f(x-2)\ge 0 ise |f(x-2)| = f(x-2) olacağından\phi(x) = f(x-2) - f(x-2) = 0.Bu durumda \phi(x) sıfır olur, pozitif (yani
> 0) olmaz (sadece 0’a eşittir). - Eğer f(x-2) < 0 ise |f(x-2)| = -f(x-2) (negatifin mutlak değeri alınır) olacağından\phi(x) = -f(x-2) - f(x-2) = -2\,f(x-2).Bu durumda f(x-2) negatif ise -2\,f(x-2) pozitif olur. Dolayısıyla \phi(x) > 0 olacaktır.
- Eğer f(x-2)\ge 0 ise |f(x-2)| = f(x-2) olacağından
- Soru “(0, ∞) aralığında pozitiftir” diyerek her x>0 için bu fonksiyonun pozitiftir demek istiyor. Fakat grafik incelendiğinde, x>0 değerlerinde $f(x-2)$’nin bazen pozitif bazen negatif olabileceği, hatta belli noktalarda 0 da olabileceği muhtemeldir.
- Eğer $x>0$’da f(x-2) bazen pozitif ise \phi(x) o aralıkta 0’a eşit olur, asla “strictly positive” (kesin olarak > 0) olmaz. Eğer f(x-2) 0’a eşitse zaten \phi(x) = 0.
- Dolayısıyla bu ifadenin “(0, ∞) aralığında pozitiftir” demesi, yani her x>0 için kesinlikle 0’dan büyük olması doğru değildir. Çünkü en azından f(x-2) \ge 0 olan noktalarda \phi(x) = 0 değerine düşer. Bu da “pozitif” tanımını (strictly positive) sağlamaz.
- Bu nedenle E şıkkı’nda belirtilen “pozitiftir” ifadesi genel olarak hatalıdır. Aslında |f(x-2)| - f(x-2) fonksiyonu daima sıfıra eşit veya pozitiftir (yani \ge 0), ama “mutlaka > 0” olması söz konusu değil. Hele ki (0, ∞) gibi geniş bir aralıkta, f(x-2) bazı bölgelerde pozitif olabilir.
Bu mantıkla, E şıkkındaki ifade yanlış olarak öne çıkar.
3. Mutlak Değerli İfadeye Dair Ayrıntılar
Bir ifadenin |g(x)| - g(x) şeklinde yazılması sıklıkla şu anlama gelir:
- g(x) sıfırdan küçük olduğunda sonuç pozitif,
- g(x) sıfırdan büyük veya eşit olduğunda sonuç 0.
Genelde \forall x,\; |g(x)| - g(x) \ge 0 geçerlidir. Fakat “(0,∞) aralığında sadece ve hep pozitif” dersek, $g(x)$’in pozitif olduğu veya 0 olduğu noktaları yok saymış oluruz. İşte bu kapsamda E şıkkının kesin olarak “pozitiftir” şeklinde ifade etmesi bir yanılgıdır.
4. Tüm Seçeneklerin Doğruluk Değerlendirmesi
Aşağıda, her seçeneğin doğruluk durumunu kısaca özetleyelim:
- A Şıkkı: $y=f(x-2)’nin kökleri 0 ve 6 olarak verilmiş. Orijinal fonksiyonun kökleri -2$ ve 4 ise kaydırma mantığıyla bu doğru.
- B Şıkkı: y=f(x-2), y eksenini orijinde kesmesi için f(-2)=0 olması yeterli. Bu da grafikten gördüğümüz kök noktasıyla uyumlu. O hâlde doğru.
- C Şıkkı: y=f(x+4)+2 fonksiyonu y eksenini (0,2) noktasında kesiyor (çünkü f(4)=0). Bu da doğru.
- D Şıkkı: y=f(x-2)-1 ifadesi x eksenini 3 farklı noktada kesebilir mi? Şeklin genel yapısı (bir min. ve bir max. var gibi), f(x)=1 doğrusunu 3 farklı yerde kesebilecek şekildeyse bunu doğru kabul ederiz. Zaten tipik polinom benzeri bir eğri, y=1 seviyesini genellikle 3 noktada kesebilecek bir dalgalanmaya sahip olabilir.
- E Şıkkı: y=|f(x-2)|-f(x-2) ifadesinin (0,∞) aralığında tamamen (her zaman) pozitif olduğu iddiası yanlış. Çünkü f(x-2) değerinin pozitife döndüğü yerlerde sonuç sıfır olacaktır.
5. Özet Tablo
| Şık | Verilen İfade | Doğruluk Durumu |
|---|---|---|
| A) | $y = f(x - 2)$‘nin kökleri 0 ve 6’dır. | Doğru (Kök kayması mantığı geçerli) |
| B) | y=f(x-2) ekseni orijinde (0,0) noktasında keser. | Doğru (f(-2)=0 varsayımıyla uyumlu) |
| C) | y=f(x+4)+2 fonksiyonu y eksenini (0,2) noktasında keser. | Doğru (f(4)=0 ise sonuç 2 oluyor) |
| D) | y=f(x-2)-1 fonksiyonu x eksenini 3 farklı noktada keser. | Doğru olabilir (grafiğin dalgalanma şekli) |
| E) | $y= | f(x-2) |
Görüldüğü üzere E şıkkı hatalı (yanlış) ifadedir.
6. Sonuç ve Yanlış Olan Şıkkın Tespiti
Yukarıdaki ayrıntılı incelemede, E şıkkının dayandığı öncül hatalıdır. Çünkü |f(x-2)| - f(x-2), f(x-2)\ge 0 ise 0 değerini almakta, ancak “pozitif” yani kesinlikle > 0 olmamaktadır. Bu nedenle, seçenekler arasındaki yanlış veya hatalı ifade E şıkkıdır.
7. Kısa Özet
- A, B, C ve D şıkları orijinal grafiğin kökleri ve kaydırma yöntemleri hedeflendiğinde mantıklı sonuçlar veriyor.
- E şıkkı ise mutlak değer işlemi sonrası, “her değer için pozitif” gibi kesin bir ifadede bulunduğundan gerçeği yansıtmıyor. Çünkü fonksiyon sıfır veya pozitif olduğunda sonuç 0’a eşit olur ve “strictly positive” ifadesi yanlış hale gelir.
Böylece sorunun doğru cevabı (yani yanlış olan ifade) E şıkkıdır.