180 adet ve 160 adet iki çeşit yumurta birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit sayılarda paketlenecektir.Buna göre bu paketleme işlemi sonunda en az kaç paket oluşur?
A)15 B)17 C)25 D)30 Çözüm?
180 adet ve 160 adet iki çeşit yumurta birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit sayılarda paketlenecektir. Buna göre bu paketleme işlemi sonunda en az kaç paket oluşur?
Cevap: 17
Çözüm Adımları:
- Paket başına düşen yumurta sayısını en büyük yapmak için, 180 ve 160 sayılarının ortak bölenlerinden en büyüğünü (EBOB = gcd) bulmalıyız.
- EBOB(180, 160) hesaplaması (Öklid algoritması):
- 180 ÷ 160 = 1 kalan 20
- 160 ÷ 20 = 8 kalan 0
⇒ EBOB(180, 160) = 20
- Her pakette 20 yumurta olduğuna göre,
- 180 yumurtadan: 180 ÷ 20 = 9 paket
- 160 yumurtadan: 160 ÷ 20 = 8 paket
- Toplam paket sayısı = 9 + 8 = 17 paket
Şıklar arasında B) 17 doğru seçenektir. @anonim96
180 adet ve 160 adet iki çeşit yumurta birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit sayılarda paketlenecektir. Buna göre bu paketleme işlemi sonunda en az kaç paket oluşur?
Cevap: Bu problemde amaç, her iki yumurta türünü de (180 adet ve 160 adet) karıştırmadan ama paket başına aynı sayıda yumurta olacak biçimde paketleyebilmektir. Paketlere düşen yumurta sayısını mümkün olduğunca büyük seçmek, toplam paket sayısını minimize edecektir. İki sayıyı da tam bölen en büyük tam sayı, bu iki sayının en büyük ortak böleni (EBOB) olarak adlandırılır.
• 180 ve 160’ın EBOB’u 20’dir.
• Eğer her pakete 20 yumurta koyarsak:
- 180 adet yumurtayı paketlemek için 180 ÷ 20 = 9 paket,
- 160 adet yumurtayı paketlemek için 160 ÷ 20 = 8 paket,
- Toplam paket sayısı = 9 + 8 = 17 paket.
Dolayısıyla, hiç yumurta artmaması ve paket içi yumurta sayısının aynı olması koşullarına göre en az paket sayısı 17’dir (Seçenek B).
İçindekiler
1. Problem Tanımı
Bu problemde elimizde iki ayrı yumurta grubu bulunmaktadır:
- 180 adet birinci tür yumurta,
- 160 adet ikinci tür yumurta.
Bu yumurtalar kesinlikle birbirine karıştırılmadan, yani ayrı ayrı gruplar hâlinde, ancak her bir pakette eşit sayıda yumurta olacak biçimde bölünmek isteniyor. Yani, pakette kaç yumurta varsa, 180 ve 160 rakamları bu sayıya tam bölünmelidir. Üstelik hedef, hiç yumurta artmaması ve paket sayısının en az olmasıdır.
2. Temel Kavramlar ve EBOB
Matematikte EBOB (En Büyük Ortak Bölen), iki veya daha fazla sayıyı aynı anda tam bölen en büyük doğal sayıdır. Bu problemde:
- Bir pakete düşen yumurta sayısını = x olarak düşünelim.
- x sayısı 180 ve 160’ı tam bölecek.
Bu x sayısının en büyük değeri, 180 ve 160’ın EBOB’udur. EBOB değeri ne kadar büyükse, paket başına o kadar fazla yumurta konur ve paket miktarı da o kadar azalır.
Örnek olarak:
$
\text{EBOB}(180,160)=20
$
3. Adım Adım Çözüm
Adım 1: EBOB Hesaplama
- 180’i bölen pozitif tam sayılar: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180
- 160’ı bölen pozitif tam sayılar: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160
- Ortak bölenlerin en büyüğü 20’dir.
Adım 2: Paket Başına Düşen Yumurta Sayısı
- Paket başına 20 yumurta koymaya karar veriyoruz.
Adım 3: Paket Sayısı Hesaplama
- 180 adet yumurta → 180 ÷ 20 = 9 paket
- 160 adet yumurta → 160 ÷ 20 = 8 paket
- Toplam paket sayısı = 9 + 8 = 17
Adım 4: Sonuç
- En büyük ortak bölen kullanıldığında paket sayısı minimum olur.
- Cevap: 17 paket
4. Özet Tablo
Aşağıdaki tabloda çözümün temel adımları, hesaplamalar ve sonuç özetlenmiştir:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. EBOB(180, 160) bulma | 180 ve 160 için en büyük ortak bölen | 20 |
| 2. Paket yumurta sayısı | Paket başına 20 yumurta | 20 |
| 3. İlk grup (180 adet) | 180 ÷ 20 = 9 paket | 9 paket |
| 4. İkinci grup (160 adet) | 160 ÷ 20 = 8 paket | 8 paket |
| 5. Toplam Paket Sayısı | 9 + 8 | 17 |
5. Sonuç ve Özet
180 ve 160 adetlik yumurta gruplarını karıştırmadan; aynı sayıda yumurta içeren paketler elde etmek için, bu iki sayıyı aynı anda bölebilen en büyük sayı (EBOB) hesaplanır. Bu sayı 20 olduğundan, paket başına 20 yumurta konur ve toplam 17 paket oluşur. Böylece hiç yumurta artmadığı gibi, kullanılan paket de en az sayıda tutulmuş olur.
• Eğer bu sayıyı (20) daha küçük bir değerle değiştirirsek, paket siy yesi büyüyeceğinden toplam paket adedi de artacaktır.
• Daha büyük bir değer kullanmak ise 180 ve 160 sayılarının her ikisini de tam bölemeyeceği için mümkün değildir.
Kısaca problemde istenen minimum paket sayısı 17’dir (B seçeneği).
180 adet ve 160 adet iki çeşit yumurta birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit sayılarda paketlenecektir. Buna göre bu paketleme işlemi sonunda en az kaç paket oluşur?
Cevap:
Merhaba! Bu problem, iki farklı yumurta türünün (180 adet ve 160 adet) birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit sayılarda paketlenmesiyle ilgili. Amacımız, bu paketleme işlemi sonunda oluşacak en az paket sayısını bulmak. Şimdi bu problemi adım adım çözelim ve doğru cevabı bulalım.
Table of Contents
- Problemin Anlaşılması
- Matematiksel Yaklaşım: Ortak Bölen Bulma
- En Küçük Paket Sayısını Hesaplama
- Sonuç ve Doğru Cevap
- Özet Tablo
1. Problemin Anlaşılması
Problemi doğru çözmek için önce ne istendiğini net bir şekilde anlamamız gerekiyor. Elimizde 180 adet bir tür yumurta ve 160 adet başka bir tür yumurta var. Bu yumurtaları şu koşullara göre paketleyeceğiz:
- Birbirine karıştırılmadan: Her paket yalnızca bir tür yumurta içerecek. Yani bir pakette hem 180 adetlik türden hem de 160 adetlik türden yumurta olmayacak.
- Hiç artmayacak şekilde: Tüm yumurtalar paketlere yerleştirilecek ve dışarıda hiç yumurta kalmayacak.
- Eşit sayılarda: Her pakette aynı sayıda yumurta olacak, ancak bu sayı her iki yumurta türü için farklı olabilir. Önemli olan, bir türün tüm paketlerinde aynı sayıda yumurta olması ve diğer türün tüm paketlerinde de kendi içinde aynı sayıda yumurta olması.
- En az paket sayısı: Oluşacak toplam paket sayısını minimumda tutmamız gerekiyor.
Bu durumda, her iki yumurta türü için paket sayısını ve her paketteki yumurta sayısını öyle belirlemeliyiz ki toplam paket sayısı en az olsun.
2. Matematiksel Yaklaşım: Ortak Bölen Bulma
Bu problem, aslında iki sayının (180 ve 160) ortak bölenlerini bulma ve bu bölenler üzerinden paket sayısını hesaplama problemidir. Çünkü:
- 180 adet yumurtayı bir sayıya bölerek paketlere ayıracağız. Bu sayı, 180’in bir böleni olmalı ki yumurtalar tam olarak bölünsün ve artmasın.
- Aynı şekilde, 160 adet yumurtayı da bir sayıya bölerek paketlere ayıracağız. Bu sayı da 160’ın bir böleni olmalı.
- Ancak, toplam paket sayısını en aza indirmek için, her iki sayı için ortak bir bölen üzerinden ilerleyeceğiz. Bu, her iki tür yumurtayı da aynı sayıda pakete bölmemizi sağlayabilir.
Önce 180 ve 160 sayılarının En Büyük Ortak Bölen (EBOB) değerini bulalım. EBOB, iki sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür ve bu tür problemlerde genellikle en az paket sayısını bulmamıza yardımcı olur.
EBOB Hesaplama (Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi)
-
180’in asal çarpanları:
- 180 ÷ 2 = 90
- 90 ÷ 2 = 45
- 45 ÷ 3 = 15
- 15 ÷ 3 = 5
- 5 ÷ 5 = 1
- Yani: 180 = 2² × 3² × 5¹
-
160’ın asal çarpanları:
- 160 ÷ 2 = 80
- 80 ÷ 2 = 40
- 40 ÷ 2 = 20
- 20 ÷ 2 = 10
- 10 ÷ 2 = 5
- 5 ÷ 5 = 1
- Yani: 160 = 2⁵ × 5¹
-
EBOB bulma: Ortak asal çarpanların en küçük üslerini alırız:
- 2’nin en küçük üssü: 2² (180’de)
- 5’in en küçük üssü: 5¹ (her ikisinde de aynı)
- EBOB = 2² × 5¹ = 4 × 5 = 20
Yani, 180 ve 160 sayılarının EBOB’u 20’dir. Bu, her iki sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür ve paketleme için bir temel oluşturabilir.
3. En Küçük Paket Sayısını Hesaplama
Şimdi, EBOB değerini kullanarak paket sayısını hesaplayalım. Eğer her iki yumurta türü için paket başına düşen yumurta sayısını EBOB üzerinden belirlersek, toplam paket sayısını bulabiliriz.
-
180 adet yumurta için:
- Her paket 20 adet yumurta içerirse, paket sayısı = 180 ÷ 20 = 9 paket
-
160 adet yumurta için:
- Her paket 20 adet yumurta içerirse, paket sayısı = 160 ÷ 20 = 8 paket
-
Toplam paket sayısı = 9 (180 için) + 8 (160 için) = 17 paket
Bu hesaplama, toplamda 17 paket ile tüm yumurtaları eşit sayılarda ve artmadan paketleyebileceğimizi gösteriyor. Ancak, soruda verilen seçenekler arasında 17 var (B şıkkı). Yine de, bu gerçekten en az paket sayısı mı diye kontrol etmeliyiz.
Alternatif Bölenlerle Kontrol
Toplam paket sayısını daha da azaltmak mümkün mü? Bunun için daha büyük bir ortak bölen arayabiliriz, ancak EBOB zaten en büyük ortak bölen olduğu için daha büyük bir ortak sayı bulamayız. Yine de, farklı bir yaklaşım deneyelim: Belki her iki tür için farklı paket büyüklükleri kullanarak toplam paket sayısını azaltabiliriz.
-
180 için farklı bir bölen (örneğin 36):
- 180 ÷ 36 = 5 paket
- Ancak 36, 160’ın böleni değil. 160’ı tam bölmek için başka bir sayı bulmalıyız.
-
160 için farklı bir bölen (örneğin 32):
- 160 ÷ 32 = 5 paket
- Ancak 32, 180’in böleni değil.
Bu durumda, her iki tür için aynı anda en az paket sayısını verecek şekilde farklı bölenler kullanmak zor. Ayrıca, toplam paket sayısını EBOB üzerinden hesapladığımızda zaten 17 gibi düşük bir sayı elde ediyoruz. Şimdi seçeneklere bakalım:
- A) 15
- B) 17
- C) 25
- D) 30
15 paket toplamda daha az bir sayı, ancak bu mümkün mü? Kontrol edelim:
- Eğer toplamda 15 paket olacaksa, bu paketlerin 180 ve 160’a nasıl dağıtılacağını düşünelim. Ancak her iki sayı için de tam bölünme sağlanmalı. 180 ve 160’ın toplamı 340 yumurta. Eğer 15 paket olsaydı, her paket ortalama 340 ÷ 15 ≈ 22.67 yumurta içermeliydi ki bu tam sayı değil, dolayısıyla imkansız. Ayrıca, EBOB üzerinden daha düşük bir paket sayısı elde edemiyoruz.
Bu nedenle, 17 paket en mantıklı ve en az sayı olarak görünüyor.
4. Sonuç ve Doğru Cevap
Yaptığımız hesaplamalara göre:
- 180 adet yumurtayı her biri 20 adet içeren 9 pakete bölebiliriz.
- 160 adet yumurtayı her biri 20 adet içeren 8 pakete bölebiliriz.
- Toplamda 9 + 8 = 17 paket oluşur.
Bu, sorunun koşullarını (birbirine karıştırmama, artmama ve eşit sayılarda paketleme) karşılar ve seçenekler arasında da yer alır. Daha az paket sayısı (örneğin 15) matematiksel olarak mümkün değildir, çünkü yumurtalar tam olarak bölünemez.
Doğru cevap: B) 17
5. Özet Tablo
| Yumurta Türü | Adet | Her Paketteki Yumurta Sayısı | Paket Sayısı |
|---|---|---|---|
| 1. Tür | 180 | 20 | 9 |
| 2. Tür | 160 | 20 | 8 |
| Toplam | 340 | - | 17 |
Sonuç ve Özet
Bu problemde, 180 adet ve 160 adet iki çeşit yumurtayı birbirine karıştırmadan ve artmayacak şekilde eşit sayılarda paketledik. Matematiksel olarak EBOB (20) değerini kullanarak her pakette 20 yumurta olacak şekilde paketleme yaptık. Sonuç olarak:
- 180 adet yumurta için 9 paket,
- 160 adet yumurta için 8 paket,
- Toplamda 17 paket elde ettik.
Bu, sorunun koşullarını sağlayan en az paket sayısıdır. Doğru cevap B) 17 şıkkıdır. Eğer başka soruların varsa, sormaktan çekinme!