175 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı nedir?
Önemli Çıkarımlar
- 175 sayısının asal çarpanlara ayrılması gerekir.
- Bir sayının pozitif tam bölen sayısı, asal çarpanlarının kuvvetlerine göre hesaplanır.
- Bölen sayısı formülü: eğer sayı n = p_1^{a} p_2^{b} \cdots p_k^{c} ise, bölen sayısı (a+1)(b+1)\cdots(c+1) formülü ile bulunur.
Doğrudan Cevap
175 sayısının pozitif tam bölen sayısını bulmak için önce sayı asal çarpanlarına ayrılır:
175 = 5^2 \times 7^1
Pozitif bölen sayısı formülüne göre:
(2 + 1)(1 + 1) = 3 \times 2 = 6
Yani, 175 sayısının 6 tane pozitif tam böleni vardır.
İçindekiler
Pozitif Tam Sayı Bölenlerin Hesaplanması
Bir doğal sayının pozitif bölenlerinin sayısını bulmak için en kolay yol, o sayının asal çarpanlara ayrılmasıdır. Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırırken, sayıyı asal sayıların kuvvetleri biçiminde gösteririz:
n = p_1^{a} \times p_2^{b} \times \dots \times p_k^{c}
Burada p_1, p_2, ..., p_k farklı asal sayılar, a, b, ..., c ise bu asal sayıların üsleridir.
Pozitif bölenlerin toplam sayısı formülü:
d = (a+1)(b+1) \cdots (c+1)
Örneğin, 175 sayısı:
175 = 5^2 \times 7^1
Burada üsler: a=2, b=1.
Dolayısıyla,
d = (2 + 1)(1 + 1) = 3 \times 2 = 6
175 sayısının pozitif tam bölenleri toplamda 6 tanedir.
Örnekler ve Uygulamalar
| Sayı | Asal Çarpanlar | Bölen Sayısı Hesabı | Pozitif Bölen Sayısı |
|---|---|---|---|
| 175 | 5^2 \times 7^1 | (2+1)(1+1) | 6 |
| 1200 | 2^4 \times 3^1 \times 5^2 | (4+1)(1+1)(2+1) | 30 |
Sıkça Sorulan Sorular
S1: Pozitif tam bölen sayısı nasıl bulunur?
C1: Sayının asal çarpanlarını bulup üslerini birer artırarak çarpılır.
S2: Bir sayının bölenleri neden üslerin bir fazlasıyla çarpılır?
C2: Çünkü üsler 0’dan başlayarak kuvvet sayısını belirtir, 0. kuvvet de dahil edilir.
S3: Negatif bölenler sayılır mı?
C3: Genellikle pozitif tam bölenler sorulur, negatif bölenler dahil edilmez.
Bir sonraki soruda 1200 sayısının pozitif tam sayı bölen sayısını hesaplamak ister misiniz? Yardımcı olayım mı?
Resimli Soru 27-12-2025 21:35:05
Önemli Çıkarımlar
- Bir sayının pozitif tam bölen sayısı, asal çarpanlarının üslerine 1 eklenip çarpılmasıyla bulunur.
- 175 = 5² ⋅ 7¹ olduğundan bölen sayısı (2+1)⋅(1+1)=6’dır.
- 1200…0 = 12⋅10ⁿ = 2ⁿ⁺²⋅3¹⋅5ⁿ olduğundan bölen sayısı 2(n+3)(n+1)=240 ⇒ n=9, sayı = 12⋅10⁹.
Çözüm 1: 175 sayısının pozitif tam bölen sayısı
175’in asal çarpanlara ayrılması:
175 = 5^2 \times 7^1
Bölen sayısı formülü: (\alpha+1)\,(\beta+1)\,…
(2 + 1)\,(1 + 1) = 3 \times 2 = 6
Bu nedenle 175’in 6 adet pozitif tam böleni vardır.
Çözüm 2: 1200…0 sayısının 240 adet böleni olması
“1200…0” ifadesi, 12∙10ⁿ şeklindedir.
Asal çarpanlar:
12\cdot10^n = (2^2\cdot3)\,(2^n\cdot5^n) = 2^{n+2}\cdot3^1\cdot5^n
Bölen sayısı:
d = (n+2+1)\,(1+1)\,(n+1) = (n+3)\cdot2\cdot(n+1) = 2(n+3)(n+1)
Şart: 2(n+3)(n+1)=240 ⇒ (n+3)(n+1)=120
Denklemi çözmek için m=n+1 alalım:
m(m+2)=120 \;\;\Rightarrow\;\; m^2+2m-120=0 \;\;\Rightarrow\;\; m=10\;(\text{pozitif})
Dolayısıyla n+1=10\Rightarrow n=9.
Sayı: 12\cdot10^9 = 12\,000\,000\,000.
Karşılaştırma Tablosu
| Özellik | 175 | 12⋅10⁹ |
|---|---|---|
| Asal Çarpan Ayrışımı | 5^2\cdot7^1 | 2^{11}\cdot3^1\cdot5^9 |
| Pozitif Tam Bölen Sayısı Formülü | (2+1)(1+1)=6 | 2(n+3)(n+1)\,=240 |
| Sonuç | 6 | 240 |
Özet Tablo
| Soru No | Sayı veya Form | Asal Çarpan Üsleri | Bölen Sayısı |
|---|---|---|---|
| 1 | 175 | 5², 7¹ | 6 |
| 2 | 12⋅10⁹ | 2¹¹, 3¹, 5⁹ | 240 |
Sıkça Sorulan Sorular
S1: Bir sayının pozitif tam bölen sayısı nasıl bulunur?
C: Sayının asal çarpan ayrışımında her üse 1 ekleyip çarparsınız.
S2: “1200…0” ifadesindeki n nasıl belirlenir?
C: Bölen sayısı formülünü verilen değerle eşitleyip n’yi çözersiniz.
S3: Çözümlerde negatif bölenler neden sayılmaz?
C: Soru “pozitif tam bölen” istediği için yalnızca pozitif bölmeler alınır.
Başka hangi sayıların pozitif bölen sayısını birlikte hesaplayalım?