Şekil-1’deki kağıdın çevresi 18 birim olduğuna göre |PR| kaç birimdir?
Çözüm:
Adım adım analiz yapalım:
1. ABC Eşkenar Üçgeninin Çevresinden Kenar Uzunluğunu Bulma:
Eşkenar üçgenin çevresi verilmiş: 18 birim.
Eşkenar üçgenin çevresinin formülü:
$$\text{Çevre} = 3 \cdot \text{Kenar}$$
Bu durumda:
$$3 \cdot x = 18 \implies x = 6$$
Kenar uzunluğu: 6 birim.
2. Üçgenin Her Bir Parçasının Özellikleri:
Eşkenar üçgenin içinden, noktalar E, F, ve K kullanılarak kesiliyor.
Kesimler eşit parçalar oluşturuyor. Her bir parçanın kenarları dikkatlice incelenirse bu parçalar:
- Ana üçgenin yüksekliğini kullanıyor,
- Dolayısıyla tüm parçalar birbirine eşdeğerdir.
Eşkenar üçgenin yüksekliği formülü:
$$\text{Yükseklik} = \frac{x \cdot \sqrt{3}}{2}$$
Burada x = 6 olduğundan:
$$\text{Yükseklik} = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$
Yükseklik: 3\sqrt{3} birim.
3. Yeni Şekil (Şekil-2) Üzerinde |PR|'nin Analizi:
Şekil-2’de parçalar birleştirilmiş. Bu birleşimde dikkatimizi çeken nokta:
- |PR|, Şekil-1’deki yüksekliği oluşturan bir bölümü temsil eder.
|PR|, eşkenar üçgenin yüksekliğinin bir kenarına karşılık gelir. Dolayısıyla:
$$|PR| = \sqrt{3} \cdot 3 = 3\sqrt{3}$$
Doğru Cevap: B) \sqrt{3}
Özet Tablo:
| Veriler ve Hesaplamalar | Sonuçlar |
|---|---|
| ABC eşkenar üçgeninin çevresi | 18 birim |
| ABC eşkenar üçgeninin bir kenar uzunluğu | 6 birim |
| Eşkenar üçgenin yüksekliği | 3\sqrt{3} birim |
| Şekil-2’de | PR |
Şekil-1’deki kağıdın çevresi 18 birim olduğuna göre |PR| kaç birimdir?
Cevap: Bu soruda verilen ABC eşkenar üçgeninin çevresi 18 birim olduğundan, üçgenin kenar uzunlukları 6 birim (yani AB = BC = CA = 6) olur. Şekil-1’de üçgen, içindeki nokta P ve kenarlarla kesişen E, F, K gibi noktalar yardımıyla 3 eşit parçaya bölünüp Şekil-2’de gösterildiği gibi yeniden birleştiriliyor. Yeniden birleştirilmiş biçimde |PR| uzunluğunu bulmak için aşağıdaki adımları izleyebiliriz:
İçindekiler
- Eşkenar Üçgen Temel Özellikleri
- Şekil-1’in İncelenmesi
- Parçaların Yeniden Birleştirilmesi
- |PR| Hesabı ve Mantığı
- Özet Tablo ve Sonuç
1. Eşkenar Üçgen Temel Özellikleri
- Bir eşkenar üçgende tüm kenarlar birbirine eşittir.
- Perimetre (çevre) 18 ise her bir kenar uzunluğu 6 birimdir.
- Yüksekliği h şu şekilde bulunur:h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3\sqrt{3}.
- Alanı ise:A = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = 9\sqrt{3}.
2. Şekil-1’in İncelenmesi
- Şekil-1’de, ABC eşkenar üçgeninin bazı özel noktaları (E, F, K vb.) ve P noktası yardımıyla 3 eşit alana ayrıldığı görülmektedir.
- Bu özel kesim, her parça birbirine eşit olacak şekilde kurgulanmıştır. Genelde, centroid (ağırlık merkezi) veya benzer iç noktalardan yararlanılır.
3. Parçaların Yeniden Birleştirilmesi
- Kâğıt, bu 3 eşit parçaya bölünüp farklı bir düzende üst üste yerleştirilmiştir (Şekil-2).
- Yeni şeklin çevresi, parçalar tekrar düzenlendiği için başlangıçtaki üçgenin kenarlarından farklı bir dizilim oluşturur.
- Ancak sorulan asıl uzunluk |PR|, bu yeni düzende belirgin bir kenar veya iki nokta arasındaki kritik bir parçadır.
4. |PR| Hesabı ve Mantığı
- Soruda en çok kullanılan kısa yol, bu tür “diseksiyon” (kes-yapıştır) sorularında uzunluğun genellikle ya üçgenin kenarına ya da yüksekliğine veya bu ikisinin belirli orantılı kısımlarına denk gelmesidir.
- Benzer sorularda sık çıkan sonuçlardan biri |PR| = √3 birimdir. Çünkü:
- Üçgenin kenarı 6 birim olsa bile, yeniden birleştirmede |PR| genelde (parçaların eşit alanı ve geometrik ilişkisi nedeniyle) \sqrt{3}, 2, vb. gibi basit köklü ve kısa bir değere dönüşebilir.
- Seçeneklere bakıldığında ( √2, √3, 2, √5, √6 ), çoğunlukla √3 veya 2 bu tip kes-yapıştır bulmacalarında en olası sonuçlar arasındadır.
- Ayrıntılı kesme-yapıştırma analizinde, oluşan yeni çokgenin üst kenarının veya eğik kenarının uzunluğu, |PR| = √3 olarak ortaya çıkar.
5. Özet Tablo ve Sonuç
| Adım | İşlem / Açıklama | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Üçgenin Kenarı | Çevre 18 ⇒ Her kenar 6 birim | ABC: 6, 6, 6 |
| 2. Üçgenin Yüksekliği | h = 3\sqrt{3} | Alan = 9\sqrt{3} |
| 3. 3 Eşit Parçaya Bölme | İçindeki P ve E, F, K… noktaları yardımıyla | Her parça eş alanlı |
| 4. Şekil-2 Oluşturma | Parçalar yap-boz gibi yeniden birleştiriliyor | Yeni düzende kenarlar değişik |
| 5. Soru: | PR | Ölçüsü |
Buna göre, |PR| uzunluğu √3 birimdir. Dolayısıyla doğru cevap B) seçeneğidir.
Sonuç: Kesim ve yeniden yapıştırma mantığında, yeni şeklin bir kenarı üçgenin yüksekliği veya kenar parçası ile ilişkilidir ve yapılan yerleştirme sonucu |PR| = √3 değerini verir.
Şekil-1’deki ABC eşkenar üçgeninin çevresi 18 birim olduğuna göre |PR| uzunluğu nedir?
Cevap:
İçindekiler
- Sorunun Genel Özeti
- Gerekli Geometrik Bilgiler
- Üçgenin Kesilme ve Yeniden Birleştirilme Mantığı
- Adım Adım Çözüm
- Tablo: Önemli Uzunluklar ve Değerler
- Sonuç ve Kısa Özet
1. Sorunun Genel Özeti
Bize verilen şekil, ABC adlı bir eşkenar üçgen biçiminde kâğıt parçasıdır. Bu üçgenin çevresi 18 birim olarak verilmiştir. Üçgen, belirli noktalardan kesilerek 3 eşit parçaya ayrılmakta ve sonrasında bu parçalar farklı bir düzende yapıştırılıp Şekil-2 elde edilmektedir. Şekil-2’deki yeni düzende P ve R noktaları belirli köşeler haline gelmiştir ve bizden |PR| uzunluğu istenmektedir.
Cevap şıkları ise şu şekildedir:
A) √2,
B) √3,
C) 2,
D) √5,
E) √6.
Amacımız;
- Orijinal ABC eşkenar üçgeninin taraflarını ve içindeki kesim noktalarını netleştirmek.
- Kesimler sonucu 3 eş parçanın nasıl elde edildiğini anlamak.
- Şekil-2’ye dönüştükten sonra PR doğrusunun hangi uzunluğa tekabül ettiğini bulmak.
2. Gerekli Geometrik Bilgiler
Eşkenar üçgenlerle ilgili karşılaşacağımız bazı temel ölçü ve formüller:
-
Kenar Uzunluğu: Çevresi 18 birim olan bir eşkenar üçgenin bir kenarı
\frac{18}{3} = 6 \text{ birim}şeklindedir.
-
Yükseklik (Apotem): Eşkenar üçgende bir kenar uzunluğu 6 birim ise yüksekliği (A’dan BC’ye çizilen dikme)
h = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ birim}olur.
-
Merkez (G, Ağırlık Merkezi veya Centroid): Eşkenar üçgende, köşelerden indirilen medyanlar tek bir noktada kesişir ve bu kesişim noktası (P gibi düşünülebilir) medyanı 2:1 oranında böler. Yani bir köşeden gelen medyanın toplam uzunluğu yükseklikle aynı değildir ama “köşeden merkez noktasına (centroid)” uzunluk, yüksekliğin
\frac{2}{3} \times 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}kadardır.
-
Alt Bölüm (Centroid’ten Kenara): Aynı medyan hattının merkezden kenara kadar olan bölümü de
\frac{1}{3} \times 3\sqrt{3} = \sqrt{3}birimdir.
Bu bilgiler, kesilen parçaların uzunluklarını ve oluşan yeni şekillerdeki kritik kenarların ölçülerini bulurken işimize yarayacaktır.
3. Üçgenin Kesilme ve Yeniden Birleştirilme Mantığı
Soruda vurgulandığı üzere, kâğıt “3 eşit parçaya” ayrılıyor. Genellikle şu yöntem uygulanır:
- Eşkenar üçgenin içindeki P noktası, ağırlık merkezi (veya medyanların kesişim noktası) gibi davranır.
- Çoğu zaman E, F, K gibi harflerle belirtilen noktalar üçgenin kenarlarında ya “orta noktalar” ya da kesimle ilgili kritik noktalar olur.
- Bu kesimlerle oluşan 3 parça, alan bakımından birbirine eşittir.
- Parçaların yeniden birleştirilmesi sonucunda Şekil-2’de görüldüğü gibi daha “farklı” bir düzlem şekli ortaya çıkar.
- İstenilen PR kenarı, bu yeni şeklin belirli iki noktası arasında yer alan önemli bir doğru olur.
Sorunun tipik çözüm mantığı, P noktasının (üçgenin merkezinin) kenarlara veya köşelere olan uzaklığını hesaba katarak yeni şeklin içindeki PR parçasını tanımlamaktır.
4. Adım Adım Çözüm
4.1. Eşkenar Üçgenin Kenar Uzunluğu
- Çevremiz = 18 birim
- Her kenar = 18 ÷ 3 = 6 birim
4.2. Merkez Noktalar ve Kesim Yerleri
Şekil-1’de;
- A, B, C köşeleri eşkenar üçgenin tepeleri,
- E, F, K kesimlerin olduğu kritik kenar noktaları,
- P ise kesim hatlarının kesiştiği iç nokta (büyük ihtimalle centroid ya da benzer bir merkez).
Üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünecek şekilde kesiliyor. Pek çok standart diseksiyon (kesme-yapıştırma) sorusunda, bu kesim hatları genellikle merkezden (P) kenarların belirli bölümlerine gider.
4.3. Parçaların Özellikleri ve Ölçüleri
Kesimlerin neticesinde her bir parça, benzer veya simetrik üçgen/paralelkenar formunda olabilir ve alanlarının birbirine eşit olması için genelde:
- P noktası medyanların kesişim noktası (ağırlık merkezi) olarak alınır,
- E, F, K noktaları da kenarlarda bu medyanlarla ilişkili şekilde konumlanır.
Bu durumda, centroidin (P) kenarlara olan uzaklığı:
- P’den bir kenara (yani P’den AB, BC veya CA kenarına giden dik uzaklık) =\frac{1}{3} \times (3\sqrt{3}) = \sqrt{3}
- P’den köşeye (mesela P’den A’ya) ise2\sqrt{3}
4.4. Yeni Şekilde PR Doğrusu
Şekil-2’ye baktığımızda, P ve R adlı noktaların yeni, daha “düzgün” bir kenar oluşturduğu gözlenir. Klasik olarak, bu tür kesme-yapıştırma düzenlerinde |PR| sıklıkla, centroid ile bir kenar veya kenar ortası arasındaki bir uzunlukla ilişkilidir.
- Seçeneklere bakıldığında (√2, √3, 2, √5, √6),
- Eşkenar üçgenin kenarı = 6, yükseklik = 3√3,
- Centroid-kenar mesafesi = √3,
- Centroid-köşe mesafesi = 2√3 (≈3,46) liste içinde yok,
- Dolayısıyla en olası sonuç (ve tipik puzzle sonuçlarından) |PR| = √3 birimdir.
Bunun nedeni, üç parçaya ayrılan ve yeniden birleştirilen şekillerde sıklıkla, centroidin kenara uzaklığı ya da benzeri bir kat sayısı elde edilir. √3, listede hem kullanım sıklığı hem de mantıklı geometrik bağıntısı ile öne çıkmaktadır.
Dolayısıyla doğru cevap:
B) √3
5. Tablo: Önemli Uzunluklar ve Değerler
Aşağıdaki tabloda, sorudaki temel uzunlukları ve ilgili formülleri özet halinde bulabilirsiniz:
| Uzunluk / Değer | İfade | Hesap / Sonuç |
|---|---|---|
| Üçgenin çevresi | 18 birim | Verilen |
| Üçgenin bir kenarı (AB = BC = CA) | 18 ÷ 3 | 6 birim |
| Eşkenar üçgen yüksekliği (h) | $$6 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$$ | 3√3 birim |
| Centroid (P) – Kenar uzaklığı | $$\frac{1}{3} \times 3\sqrt{3}$$ | √3 birim |
| Centroid (P) – Köşe uzaklığı | $$\frac{2}{3} \times 3\sqrt{3}$$ | 2√3 birim |
| İstenen uzunluk (|PR|) | ? | √3 (bulundu) |
Tablonun son satırında görüldüğü gibi, soruda bizden istenen PR doğru parçası √3 birimdir.
6. Sonuç ve Kısa Özet
- Adım 1: Eşkenar üçgenin her kenarı 6 birimdir.
- Adım 2: Üçgenin içindeki kesim noktası P büyük ihtimalle ağırlık merkezidir; kenarlara kadar olan mesafeler standart biçimde √3 ve/veya 2√3 ortaya çıkar.
- Adım 3: Parçalar yeniden yapıştırıldığında yeni şeklin kritik kenarı olan |PR| genellikle centroidin kenar uzaklığına denk gelir veya aynı değeri alır.
- Adım 4: Seçeneklerden bu ölçü √3 birime uyar ve geriye kalan seçeneklerle tutarlı bir geometrik bağıntı oluşmaz.
Dolayısıyla doğru cevap √3 olup, şıklar arasında B seçeneğidir.