- 171 sayısı n doğal sayısı le tam bölünebilmekte ancak
(n+1) sayısı ile tam bölünememektedir.
Buna göre, n doğal sayisının alabileceği en küçük de-
ġerin rakamları toplamı kaçtır?
A) 5
B) 6
C)7
D) 8
E) 9 - x
17! Sayısının n ve (n+1) ile Bölünebilme Analizi
[KULLANILAN FORMÜL / KURAL:]
Bir a! (faktöriyel) sayısı, a sayısına eşit veya a sayısından küçük olan tüm pozitif tam sayılara ve bu sayıların çarpımlarından oluşan bileşik sayılara tam bölünür. Wilson Teoremi’ne göre, eğer p bir asal sayı ise (p-1)! + 1 sayısı p ile tam bölünür, yani (p-1)! sayısı p ile tam bölündüğünde -1 (veya p-1) kalanını verir.
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — Problemi Tanımlama
Soru bizden 17! sayısını tam bölen bir n doğal sayısı bulmamızı istiyor. Ancak aynı zamanda (n+1) sayısının 17! sayısını tam bölememesi gerekiyor. Bu şartı sağlayan en küçük n değerini arıyoruz.
Adım 2 — Bölünememe Şartını İnceleme (Wilson Teoremi Bağlantısı)
Bir sayının bir faktöriyel değerini bölmemesi için, o sayının çarpanlarının faktöriyel açılımında bulunmaması gerekir. 17! sayısı 1, 2, 3, \dots, 17 sayılarını çarpan olarak barındırır.
Eğer (n+1) bir asal sayı ise ve n+1 > 17 ise, (n+1) sayısı 17! sayısını tam bölemez. Çünkü 17! içindeki hiçbir sayı n+1 asalını çarpan olarak barındırmaz.
Adım 3 — n Değerini Belirleme
n+1 sayısının 17! değerini bölmediği en küçük asal sayı durumunu inceleyelim:
- 17 sonrası gelen ilk asal sayı 19’dur.
- Eğer n+1 = 19 olursa, 19 asal olduğu için 17! sayısını tam bölemez.
- Bu durumda n = 18 olur.
Adım 4 — n = 18 Değerinin Kontrolü
- Şart 1 (17! sayısı n ile bölünmeli): n = 18 bir bileşik sayıdır ve 18 = 2 \times 9 şeklinde yazılabilir. Hem 2 hem de 9 sayıları 17! açılımında çarpan olarak bulunduğu için 17!, 18’e tam bölünür. (Şart sağlandı)
- Şart 2 (17! sayısı n+1 ile bölünmemeli): n+1 = 19. 19 bir asal sayıdır ve 19 > 17 olduğu için 17! sayısının içinde 19 çarpanı yoktur. Dolayısıyla 17!, 19’a tam bölünemez. (Şart sağlandı)
Adım 5 — Rakamlar Toplamını Hesaplama
En küçük n doğal sayısı 18 olarak bulunmuştur.
18 sayısının rakamları toplamı: 1 + 8 = 9 olur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] 9 (E Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Faktöriyel Bölünebilirliği
- [Tanım:] n! sayısı, $1$’den $n$’e kadar olan tüm tam sayıların çarpımıdır.
- [Bu problemde:] 17!, kendisinden büyük olan ilk asal sayıya (19) tam bölünemezken, çarpanlarını barındırdığı 18 sayısına tam bölünür.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
n+1’i 18 Almak
- [Yanlış:] n+1 = 18 alıp n=17 demek.
- [Doğru:] n=17 olursa n+1=18 olur. 18 sayısı 2 \times 9 olduğu için 17! içinde bu çarpanlar vardır ve tam bölünür. Soruda bölünememesi isteniyor.
- [Neden Yanlış:] Bölünememe şartı için n+1 genellikle bir sonraki asal sayı seçilmelidir.
Bu çözümde 17! sayısının çarpan yapısını kullanarak sonuca ulaştık. Faktöriyel ve asal sayılarla ilgili benzer bir uygulama sorusu daha çözmek ister misin?
Cevabı uzun değil de kısaca yaz
17! ve Bölünebilme Analizi
[KURAL:] Bir n! sayısı, n ve n’den küçük tüm sayılara bölünür. Ancak n’den büyük bir asal sayıya asla tam bölünemez.
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — n Değerini Belirleme
- 17! sayısının n ile bölünmesi, ancak n+1 ile bölünememesi isteniyor.
- 17! sayısı, kendisinden büyük olan ilk asal sayıya tam bölünemez.
- 17’den büyük en küçük asal sayı 19’dur.
- Bu durumda n+1 = 19 olmalıdır.
Adım 2 — n Sayısını Hesaplama
- n+1 = 19 ise n = 18 olur.
- Kontrol: 18, 17! içindeki 2 ve 9 çarpanlarından dolayı 17!'i tam böler. 19 ise asal olduğu için tam bölemez. Şartlar sağlandı.
Adım 3 — Rakamları Toplamı
- n = 18 sayısının rakamları toplamı: 1 + 8 = 9 olur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] 9 (E Şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Bu tarz sorularda doğrudan bir sonraki asal sayıyı hedeflemek seni en hızlı sonuca ulaştırır. Başka bir soruda takıldığın bir nokta var mı?