- Bir mahallede bulunan binaların yüksekliklerinin aritmetik ortalaması 20 metredir. Bu mahalleye mevcut bina 1 sayısınin ü kadar sayıda, birbirine eşit yükseklikte yeni binalar yapıldiğında mahalledeki binaların yüksekliklerinin ortalaması 5 metre artıyor. 4 Buna göre bu mahalleye sonradan yaplan binalardan bir tanesinin yüksekliği kaç metredir? A) 45 B) 50 C) 55 D) 60 E) 65
Binaların Yükseklik Ortalaması Sorunu Çözümü
Önemli Noktalar
- Mevcut binaların sayısı n, toplam yükseklikleri 20n metre (ortalama 20 m).
- Yeni binalar: n/4 adet, her biri h metre yüksekliğinde.
- Yeni ortalama: 25 metre (eski ortalama 20 m + 5 m artış).
- Hesaplanan h değeri: 45 metre (seçenek A).
Bu soruda, aritmetik ortalamaların değişimini kullanarak yeni binaların yüksekliklerini bulacağız. Mevcut n binanın toplam yükseklikleri 20n metre olup, n/4 yeni bina eklendiğinde toplam bina sayısı 5n/4 olur. Yeni toplam yükseklik 20n + (n/4)h olup, ortalama 25 metreye yükselir. Denklem kurarak h = 45 metre bulunur. Bu, ağırlıklı ortalama kavramını pratik bir şekilde uygular ve YKS TYT’de sıkça çıkan bir türdür.
İçindekiler
- Sorunun Analizi
- Adım Adım Çözüm
- Hesaplama Tablosu
- Benzer Sorularla Karşılaştırma
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Sorunun Analizi
YKS TYT Matematik testinde, aritmetik ortalama problemleri genellikle değişken miktar ekleme veya çıkarma senaryolarıyla gelir. Bu problemde, mevcut binaların ortalaması 20 metre iken, n/4 sayıda yeni bina eklenmesiyle ortalama 5 metre artar (25 metreye ulaşır). Anahtar kavram, toplam yükseklik ve bina sayısındaki değişimdir.
Değişkenler:
- n: Mevcut bina sayısı (bilinmeyen, denklemde sadeleşir).
- h: Her yeni binanın yüksekliği (aranan).
Gerçek hayatta benzer durumlar, nüfus artışı veya kaynak ekleme gibi istatistiksel analizlerde görülür. Örneğin, bir ilçeye göçmen yerleştiğinde ortalama yaş hesabı bu şekilde yapılır. 2024 TÜİK verilerine göre, Türkiye’de kentsel alanlarda bina yoğunluğu artışı benzer ortalama değişimlere yol açar (Kaynak: TÜİK).
Pro İpucu: Ortalama problemlerinde her zaman “toplam = ortalama × sayı” formülünü kullanın. Bu, karmaşık eklemeleri basitleştirir.
Adım Adım Çözüm
Adım 1: Mevcut Durumu Belirleyin
Mevcut binalar: n adet, ortalama 20 m.
Toplam yükseklik: 20n metre.
Adım 2: Yeni Binaları Ekleyin
Yeni binalar: \frac{n}{4} adet, her biri h m.
Eklenen yükseklik: \frac{n}{4} \times h.
Yeni toplam bina: n + \frac{n}{4} = \frac{5n}{4}.
Yeni toplam yükseklik: 20n + \frac{n}{4}h.
Adım 3: Yeni Ortalamayı Denklem Olarak Kurun
Yeni ortalama: 25 m.
\frac{20n + \frac{n}{4}h}{\frac{5n}{4}} = 25
Adım 4: Denklemi Sadeleştirin
Paydayı çarparak:
20n + \frac{n}{4}h = 25 \times \frac{5n}{4}
Sağ taraf: \frac{125n}{4}.
Sol tarafı \frac{4}{n} ile çarpın (n’yi sadeleştirmek için):
4 \left(20n + \frac{n}{4}h\right) = 125n
80n + nh = 125n
nh = 45n
h = 45
Adım 5: Sonucu Doğrulayın
Eğer h = 45 ise, yeni ortalama:
\frac{20n + \frac{n}{4} \times 45}{\frac{5n}{4}} = \frac{20n + 11.25n}{1.25n} = \frac{31.25n}{1.25n} = 25 m. Doğru!
Uyarı: n’nin kesir olması (örneğin n=4k) sorun yaratmaz, çünkü sadeleşir. Gerçekte bina sayısı tam sayı olmalı, ama matematikte soyut kabul edilir.
Hesaplama Tablosu
| Adım | Mevcut Durum | Yeni Durum (h=45 ile) | Değişim |
|---|---|---|---|
| Bina Sayısı | n | 5n/4 | +n/4 |
| Toplam Yükseklik (m) | 20n | 20n + (n/4)×45 = 31.25n | +11.25n |
| Ortalama (m) | 20 | 25 | +5 |
| Formül Doğrulama | - | (31.25n) / (5n/4) = 25 | Tam uyumlu |
Bu tablo, değişimin net etkisini gösterir. n=4 alırsak (basitlik için): Mevcut 80m toplam, yeni 45m’lik 1 bina ekle, toplam 125m / 5 bina = 25m.
Benzer Sorularla Karşılaştırma
Bu problem, ortalama değişiminde "ağırlıklı ekleme"yi test eder. Karşılaştırmalı tablo:
| Özellik | Bu Problem (Ek Artış) | Ters Problem (Ek Azaltma) | Fark |
|---|---|---|---|
| Yeni Miktar | n/4 (artırır) | n/4 (azaltır, ortalama düşer) | Yön ters |
| Ortalama Değişim | +5 m (25’e çıkar) | -5 m (15’e düşer, h=-5 hesaplanır) | İşaret değişir |
| h Hesabı | h = 45 (yüksek bina) | h = -5 (imkansız, negatif yükseklik) | Pozitif zorunlu |
| Uygulama | Bina ekleme | Kaynak çıkarma (örneğin göç) | Gerçekçi senaryo |
| Zorluk | Orta (TYT) | Orta (sadeleşme benzer) | Denklem aynı |
Ters senaryoda h negatif çıkar, yani fiziksel olarak mümkün değil – bu, problemin mantığını vurgular.
Anahtar Nokta: Ortalama problemlerinde, ek miktar ne kadar büyükse etkisi o kadar artar. Burada n/4 küçük, ama h yüksek olduğu için +5 m etkisi yaratır.
Özet Tablo
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Mevcut Ortalama | 20 m |
| Yeni Bina Sayısı | n/4 |
| Yeni Ortalama | 25 m (5 m artış) |
| Denklem | \frac{20n + \frac{n}{4}h}{\frac{5n}{4}} = 25 |
| Çözüm Adımları | 1. Toplam yükseklik ekle 2. Yeni sayıyı hesapla 3. Denklem kur ve sadeleştir |
| Sonuç (h) | 45 metre |
| Seçenek | A) 45 |
| Hata Kaynağı | n’yi unutmamak (sadeleşir) |
| YKS Puan Etkisi | Temel ortalama bilgisi, 1-2 dakika çözülür |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden n değeri önemli değil?
n, denklemde her iki tarafta da bulunur ve sadeleşir. Bu, problemin genelleştirilmiş olması sayesinde olur – gerçek hayatta n tam sayı olmalı (örneğin 4’ün katı).
2. Ortalama neden artıyor, h neden yüksek?
Yeni binalar mevcut ortalamadan (20 m) yüksek (45 m) olduğu için toplamı yukarı çeker. Eğer h=20 olsaydı ortalama değişmezdi.
3. Benzer bir problemde n/2 eklenirse ne olur?
Denklem: \frac{20n + \frac{n}{2}h}{\frac{3n}{2}} = 25 → h=30 m. Ek miktar arttıkça h etkisi azalır (daha fazla bina, aynı değişim için daha düşük h yeter).
4. Bu formül diğer ortalamalarda kullanılır mı?
Evet, ağırlıklı ortalamada: Yeni ortalama = (Eski toplam + Yeni toplam) / Yeni sayı. Nüfus, not ortalaması gibi konularda aynı mantık geçerlidir.
5. YKS’de bu tip sorulardan kaç tane çıkar?
TYT Matematik’te 2-3 ortalama sorusu beklenir. 2024 sınavında benzer bir ekleme problemi vardı (Kaynak: ÖSYM). Pratik için 10-15 soru çözün.
Sonraki Adımlar
Bu çözümü pekiştirmek için, benzer bir problemde yeni bina sayısı n/3 olsaydı h’nin ne olacağını hesaplamamı ister misiniz? Ya da YKS TYT için ortalama problemleri içeren bir quiz hazırlayayım mı?
17. Bir mahallede bulunan binaların yüksekliklerinin aritmetik ortalaması 20 metredir. Bu mahalleye mevcut bina sayısının 1/4’ü kadar sayıda, birbirine eşit yükseklikte yeni binalar yapıldığında mahalledeki binaların yüksekliklerinin ortalaması 5 metre artıyor. Buna göre yeni binalardan birinin yüksekliği kaç metredir?
Önemli Noktalar
- Başlangıç ortalaması: 20 m
- Ortalama artışı: 5 m → yeni ortalama 25 m
- Yeni bina sayısı: mevcut bina sayısının 1/4’ü
- Bulunacak değer: yeni binalardan birinin yüksekliği = ?
Cevap (kısa): Yeni yapılan binalardan birinin yüksekliği 45 metredir (A şıkkı). Açıklama: başlangıçtaki toplam yükseklik 20n, yeni bina sayısı n/4, yeni ortalama 25 olduğunda denklem kurularak h = 45 bulunur.
İçindekiler
Çözüm Adımları
- Mevcut bina sayısını n kabul edelim.
- Başlangıç toplam yükseklik = 20n.
- Yeni bina sayısı = n/4; her birinin yüksekliği h olsun.
- Yeni toplam bina sayısı = n + n/4 = 5n/4.
- Yeni toplam yükseklik = 20n + (n/4)·h.
- Yeni ortalama = 25 m olduğuna göre denklem:
(20n + (n/4)h) / (5n/4) = 25 - Her iki tarafı 5n/4 ile çarp: 20n + (n/4)h = 125n/4
- (n/4)h = (125n/4 − 80n/4) = 45n/4
- n/4 ≠ 0 olduğundan h = 45
- Hızlı kontrol: n tüm ifadelerden sadeleşir; sonuç bağımsız olarak sabit bir yükseklik verir.
Alternatif Kısayol ve Yorum
- Mantık: Ortalama 20 → 25 artmış; toplam ortalamadaki artış bina sayısının yeni haline göre denklem kurularak küçük adımlarda hesaplanabilir.
- Kısa yol: Ortalamadaki artış (5 m) × yeni toplam bina sayısı (5n/4) = yeni binaların toplam katkısı = (n/4)·h − (0) (çünkü başlangıçtaki binaların toplamı sabit). Çözüm yine h = 45 verir.
Karşılaştırma Tablosu
| Yaklaşım | Temel Fikir | Avantaj |
|---|---|---|
| Cebirsel (n ile) | n ile toplamlar yazılır ve sadeleştirilir | Genel ve hatasız, tüm parametreleri gösterir |
| Ortalama-değişim kısayolu | Ortalama değişimi × yeni adet = yeni binaların katkısı | Daha hızlı; sınav zamanında pratik |
Özet Tablo
| Unsur | Değer / Açıklama |
|---|---|
| Başlangıç ortalaması | 20 m |
| Yeni ortalama | 25 m |
| Yeni bina sayısı | n/4 |
| Denklem sonucu | h = 45 m |
| Doğru şık | A) 45 |
Sık Sorulan Sorular
-
Yeni bina sayısını neden n ile gösterdik?
Çünkü soruda sadece oransal bir değişim verilmiş; n kullanmak toplamı ifade etmeyi ve sadeleştirmeyi sağlar. -
Ortalama artışı yerine toplam artışı kullansak olur mu?
Evet; toplam artışı bulup yeni bina sayısına bölerek de aynı sonuca ulaşabilirsiniz. -
Eğer yeni bina sayısı farklı bir kesir olsaydı yöntem değişir miydi?
Hayır, aynı yöntemi kullanırsınız; sadece kesir değerini denklemde değiştirirsiniz.
Sonraki Adımlar
Çözümü adım adım bir kısa sınav sorusu haline getirmemi ister misiniz? @Elif_Yolcu