17. a, b ve c sıfırdan ve birbirinden farklı gerçek sayılar olmak üzere,

YKS TYT
1

IMG-20260107-WA0127
IMG-20260107-WA01271080×700 48.2 KB

2

Verilen Denklem Sistemi ve İfadelerin Doğruluğunun İncelenmesi

Önemli Noktalar

  • Verilenler: a, b, c sıfırdan ve birbirinden farklı gerçek sayılar
  • Denklem sistemi:
    [
    a + |a - b| = b \quad \text{ve} \quad b - |b - c| = c
    ]
  • İncelenecek ifadeler:
    1. (a - b < 0)
    2. (a - c < 0)
    3. (b - c > 0)

İlk denklemden ve mutlak değer özelliklerinden yola çıkarak (a, b, c) arasındaki eşitsizlikleri belirleyebiliriz.

İçindekiler

  1. Denklemlerin Anlamlandırılması
  2. İfadelerin Analizi
  3. Sonuç ve Doğruluk Değerlendirmesi

1. Denklemlerin Anlamlandırılması

Birinci denklem:
[
a + |a - b| = b
]

Burada ( |a - b| ) mutlak değer olduğundan, iki durum söz konusu:

  • Durum 1: (a - b \geq 0) yani (a \geq b) ise (|a-b| = a - b) olur.
    Denklem: (a + (a - b) = b \Rightarrow 2a - b = b \Rightarrow 2a = 2b \Rightarrow a = b) olur. Ancak bu çelişki yaratır çünkü (a) ile (b) farklı olmalı. Bu yüzden bu durum mümkün değildir.

  • Durum 2: (a - b < 0) yani (a < b) ise (|a-b| = -(a-b) = b - a) olur.
    Denklem: (a + (b - a) = b \Rightarrow b = b), sağlanıyor. Bu nedenle ilk denklem için (a < b) şartı geçerlidir.

İkinci denklem:
[
b - |b - c| = c
]

Benzer şekilde:

  • Durum 1: (b - c \geq 0) yani (b \geq c), (|b-c| = b-c) olur.
    Denklem: (b - (b - c) = c \Rightarrow c = c), sağlanır.

  • Durum 2: (b - c < 0) yani (b < c), (|b-c|= -(b-c) = c-b) olur.
    Denklem: (b - (c-b) = c \Rightarrow b - c + b = c \Rightarrow 2b = 2c \Rightarrow b = c) olur. Bu da çelişkidir, çünkü (b \neq c).

Sonuç olarak ikinci denklem için (b \geq c) şartı vardır fakat eşitlik mümkün olmadığından aslında (b > c) diyebiliriz.

2. İfadelerin Analizi

İfadeleri tek tek inceleyelim:

I. (a - b < 0)

  • İlk denklemden zaten (a < b) olduğu çıkarılmıştı.
  • Doğru.

II. (a - c < 0)

  • İlk denklemden (a < b), ikinci denklemden (b > c) (yani (c < b)) diye biliyoruz.
  • Yani (a < b) ve (c < b) var. (a) ile (c) arasındaki ilişkiyi kesin olarak bilmiyoruz.
  • Ancak (a < b) ve (c < b) olduğundan (a) ve (c) için herhangi bir sıra garantisi yoktur. (a) bazen (c) den küçük olabilir, bazen büyük olabilir.
  • Bu yüzden bu ifade kesin doğru değildir.

III. (b - c > 0)

  • İkinci denklemden (b > c) olduğu çıkarılmıştı.
  • Doğru.

3. Sonuç ve Doğruluk Değerlendirmesi

  • I. ifade doğru
  • II. ifade yanlış (kesin değil)
  • III. ifade doğru

Bu durumda doğru olan ifadeler I ve III’dür.

Doğru cevap: D) I ve III

Sık Sorulan Sorular

1. Mutlak değer içeren denklemlerde nasıl analiz yapılır?
Mutlak değer, ifadenin pozitif olma durumuna göre iki farklı şekilde açılır. Her durum ayrı ayrı değerlendirilir ve tutarlı çözümler seçilir.

2. Eşitlik durumları neden eleniyor?
Soru “sıfırdan ve birbirinden farklı” diyor, bu yüzden eşitlik durumları doğru kabul edilmez.

3. (a - c < 0) kesinlikle doğru mu değil mi?
Kesin değildir çünkü verilen bilgilerden (a) ile (c) arasında kesin bir büyüklük ilişkisi kurulamaz.

Sonraki Adımlar

Benzer mutlak değer ve eşitsizlik sorularında çözümleri örneklerle görmek ister misiniz? Ayrıca mutlak değer fonksiyonun grafik yorumları hakkında bilgi verir miyim?

@Mimi1

3

**17. a, b ve c sıfırdan ve birbirinden farklı gerçek sayılar olmak üzere,

a + |a – b| = b, b – |b – c| = c eşitliklerine göre, hangileri her zaman doğrudur?**

  • a ile b arasındaki mutlak değer denklemi a + |a – b| = b yalnızca a < b koşuluyla sağlanır.
  • b ile c arasındaki mutlak değer denklemi b – |b – c| = c yalnızca b > c koşuluyla sağlanır.
  • a ve c arasındaki işaret ise bu iki ilişkiden bağımsız, yani sabit bir işaret taşımaz.

I ve III her zaman doğrudur, doğru seçenek D) I ve III.

İçindekiler

  1. Çözümün Derinlemesine İncelenmesi
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözümün Derinlemesine İncelenmesi

  1. Birinci eşitlik:
    a + |a – b| = b

    • Eğer a \ge b olsaydı, |a – b| = a – b; o zaman
      a + (a – b) = b \implies 2a = 2b \implies a = b
      ancak a \neq b olduğundan çelişki.
    • Dolayısıyla tek çözüm a < b ve bu durumda eşitlik otomatik sağlanır.
    • Sonuç: a – b < 0 (Doğru ➔ I.)

  2. İkinci eşitlik:
    b – |b – c| = c

    • Eğer b < c olsaydı, |b – c| = c – b; o zaman
      b – (c – b) = c \implies 2b = 2c \implies b = c
      ama b \neq c olduğundan çelişki.
    • Dolayısıyla tek çözüm b > c ve bu durumda eşitlik otomatik sağlanır.
    • Sonuç: b – c > 0 (Doğru ➔ III.)

  3. a < b ve b > c koşullarından a ile c arasında doğrudan bir sıra bilgisi elde edilemez.

    • Örneğin a=1,\;b=2,\;c=0 için a–c>0,
    • ama a=–1,\;b=2,\;c=0 için a–c<0 çıkar.
    • Bu yüzden II. a–c<0 ifadesi her zaman doğru değildir.

Karşılaştırma Tablosu

Özellik Birinci Eşitlik İkinci Eşitlik
Denklem $a + a – b
Geçerli durumda mutlak $ a – b
Çıkan ilişki a < b (⇒ I: doğru) b > c (⇒ III: doğru)
Diğer durum a \ge b ⇒ çelişki (a = b) b \le c ⇒ çelişki (b = c)

Özet Tablosu

İfade Durum
I. a – b < 0 Her zaman doğru
II. a – c < 0 Belirsiz, her zaman değil
III. b – c > 0 Her zaman doğru

SSS

S1: Bir mutlak değer denklemi her zaman iki olasılık mı üretir?
C1: Evet. |X|=k denklemi X=k veya X=-k seçeneklerine sahiptir.

S2: a<c<b şeklinde bir durum mümkün mü?
C2: Evet. Örneğin a=0,\;c=1,\;b=2 hem a<b hem b>c koşullarını sağlar.

S3: a-c işareti kesin olmamasının sebebi nedir?
C3: Çünkü a<b ve b>c koşullarından a<c veya a>c çıkmaz; aradaki mesafe bağımsızdır.

S4: Eşitlikte farklı bir sıralama denenseydi (örneğin |b-a|), sonuç değişir miydi?
C4: Mutlak değer ifadesinin değişimi genellikle denklemdeki tarafı ve dolayısıyla koşulu değiştirir; dikkatle çözülmeli.

Devamında bu tip mutlak değer soruları çözmek ister misiniz? @Mimi1