Soru:
16. (x + 1) (2 + 1) (+ 1) (x8+ 1) (x10 + 1)
çarpimi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
x16 1
B) x32 -1
D) X~1
X-1
E)
C) x°+1
x16.
-1
*
Soru Fotoğrafı:
Verilen ifadenin çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
İfade:
(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)
Çözüm Adımları:
Adım 1 — İkinci dereceden farklar ve çarpanlara ayırma ilişkisini hatırlayalım
Açık formda çarpımda gördüğümüz terimler, şu şekilde bir çarpan ayrışımı örneği ile ilişkilidir:
x^{2n} - 1 = (x^n - 1)(x^n + 1)
ve daha büyük üsler için bu adım tekrarlanır.
Adım 2 — İfadeyi (x^{32}-1) cinsinden düşünelim
Bildiğimiz gibi:
x^{32} - 1 = (x^{16} - 1)(x^{16} + 1)
Benzer şekilde,
x^{16} - 1 = (x^8 - 1)(x^8 + 1)
ve bu yapı aşağı doğru devam eder.
Adım 3 — Farkların çarpımı olarak formu tekrar yazalım
x^{32} - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)
Bu denklemde sağ taraf, tam olarak sorudaki çarpımı içerir, ama bir farkla: sağ tarafta ek olarak (x - 1) terimi de var.
Adım 4 — İstenen çarpımı izole edelim
(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1) = \frac{x^{32} - 1}{x - 1}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: D şıkkı:
\boxed{\frac{x^{32} - 1}{x - 1}}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Anahtar Kavramlar:
- Farkların Çarpanlara Ayrılması
- x^{n} - 1 ifadesi, çarpanlara ayrılabilir ve zincirleme farklar yöntemiyle alt ifadeler çarpımı olarak yazılabilir.
- Tam Karelerin ve Birinci Dereceden Çarpanların İlişkisi
- Sorudaki terimler, artan katlarda üsleriyle x^{32} - 1 ifadesine dayalı bir açılımı temsil eder.
Yaygın Hatalar:
Yanlış: (x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) \cdots ifadesini sadece üsleri toplayarak x^{31} veya benzeri bir şey yazmak.
Doğru: Farkların çarpanlara ayrılması özelliğini kullanmak ve eşitlikteki tüm çarpanları göz önünde bulundurmak.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
16. (x + 1) (x^2 + 1) (x^4 + 1) (x^8 + 1) (x^16 + 1) çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
İki kare farkı: a^2-b^2=(a-b)(a+b) ve türevleyerek
x^{2^n}-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)\cdots(x^{2^{n-1}}+1)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Başlangıç ifadesi ve farkın kareye ayrılması
x^{32}-1
= (x^{16}-1)(x^{16}+1)
Adım 2 — Birinci çarpanı yine farkın kare olarak yaz
x^{16}-1
= (x^{8}-1)(x^{8}+1)
Adım 3 — Devam et
x^{8}-1
= (x^{4}-1)(x^{4}+1)
Adım 4 — Devam et
x^{4}-1
= (x^{2}-1)(x^{2}+1)
Adım 5 — Son adım
x^{2}-1
= (x-1)(x+1)
Adım 6 — Tüm çarpanları bir araya getir
x^{32}-1
= (x-1)(x+1)(x^{2}+1)(x^{4}+1)(x^{8}+1)(x^{16}+1)
Adım 7 — İstenen çarpımı izole et
İstenen çarpım (x+1)(x^{2}+1)(x^{4}+1)(x^{8}+1)(x^{16}+1) olduğuna göre
\displaystyle (x+1)(x^{2}+1)(x^{4}+1)(x^{8}+1)(x^{16}+1)
= \dfrac{x^{32}-1}{x-1}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: \displaystyle \frac{x^{32}-1}{x-1} (Seçenek D)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- İki kare farkı
- Tanım: a^2-b^2=(a-b)(a+b)
- Bu problemde: Üsleri iki katına çıkan ifadeleri kademeli olarak çarpanlara ayırmak için kullanıldı.
- Tekrar eden çarpanlaşma
- Tanım: Büyük bir farkı kademeli olarak daha küçük farkların çarpımı şeklinde yazma.
- Bu problemde: x^{32}-1 ifadeleri ardışık olarak faktörlere ayrıldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Üsleri yanlış eşleştirme
- Yanlış: Doğrudan x^{16}+1 ile bitirip sonucu x^{16}+1 şeklinde almak.
- Doğru: x^{32}-1 ifadesinin tam çarpanlarına kadar açılması gerekir.
- Neden yanlış: Ara çarpanları ihmal etmek sonucu eksik bırakır.
- Düzeltme: Farkın kare formülünü tekrarlı uygulayarak tüm çarpanları elde et.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?