16. O!+1! + 2! + ... + 100! sayisinın 45 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 10 B) 12 C) 15 D) 17 E) 19

YKS TYT
1
  1. O!+1! + 2! + … + 100! sayisinın 45 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 10 B) 12 C) 15 D) 17 E) 19

!Resim [Link Silindi]

2

16. O! + 1! + 2! + … + 100! sayısının 45 ile bölümünden kalan kaçtır?

Önemli Noktalar

  • 45, asal çarpanlara ayrıldığında 3² × 5 olarak yazılır.
  • n! (faktöriyel) ifadesi içinde 3 ve 5 faktörlerinin çokça bulunması nedeniyle büyük faktöriyeller 45 ile tam bölünür.
  • Bu nedenle 45 ile bölmede yalnızca küçük faktöriyellerin toplamı ve 0! dikkate alınır.
  • 0! ve 1! genellikle 1 olarak kabul edilir.

45 ile bölümden kalan sorulduğunda büyük faktöriyellerin 45’in katı olduğunu ve kalan vermeyeceğini akılda tutmalıyız. 100! gibi büyük faktöriyeller 45 ile tam bölünür.

İçindekiler

  1. Faktoryel Tanımı ve Özellikleri
  2. 45 ile Bölme ve Modüler Aritmetik
  3. Küçük Faktöriyellerin Toplamının Hesaplanması
  4. Karşılaştırma Tablosu: Faktöriyel Bölümünden Kalan
  5. Özet Tablo
  6. Sık Sorulan Sorular

Faktoryel Tanımı ve Özellikleri

Bir sayının faktöriyeli, 1’den o sayıya kadar tüm pozitif tam sayıların çarpımına eşittir:

n! = 1 \times 2 \times 3 \times ... \times n

Örneğin:

  • 0! = 1
  • 1! = 1
  • 2! = 2
  • 3! = 6
  • 4! = 24
  • 5! = 120

Büyük faktöriyeller (örneğin 45 ve üzeri) içinde 45’in asal çarpanları olan 3 ve 5 çokça bulunur ve bu faktöriyeller 45 ile tam bölünebilir.

45 ile Bölme ve Modüler Aritmetik

45 = 9 × 5 olarak yazılır. Büyük faktöriyellerde en az bir kere 5’in kuvveti ve en az iki kere 3’ün kuvveti vardır.

Yani:

  • k! sayısı 9 = 3^2’un çarpanı içeriyorsa ve
  • k! sayısı 5’in çarpanını içeriyorsa,
  • k! tam olarak 45 ile bölünür.

Bu nedenle, büyük faktöriyeller 45 ile bölününce kalan sıfırdır.
Bu durumda 45 ile bölünüp kalanı etkileyen terimler sadece 0!, 1!, 2!, ..., 9! faktöriyeller olacaktır. Çünkü 10! ve sonrası 45’in katı olur (10! içinde 2 tane 5 ve yeterince 3 vardır, dolayısı ile 45’in katıdır).

Küçük Faktöriyellerin Toplamının Hesaplanması

Aşağıdaki faktöriyelleri hesaplayalım ve 45 ile modlarını bulalım:

n n! 45 ile bölümünden kalan (mod 45)
0 1 1
1 1 1
2 2 2
3 6 6
4 24 24
5 120 120 mod 45 = 120 - 2×45 = 30
6 720 720 mod 45 = 720 - 16×45 = 720 - 720 = 0
7 5040 5040 mod 45 = 0 (çünkü 7! içinde 5 ve iki tane 3 çarpanı var)
8 40320 40320 mod 45 = 0
9 362880 362880 mod 45 = 0

Burada 6! itibariyle tüm faktöriyeller 45 ile bölünebilecek şekilde ve kalanı 0’dır.

Şimdi sadece 0! ile 5! arasını toplayalım:

0!+1!+2!+3!+4!+5! = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 + 30 = 64

64 mod 45:

64 - 45 = 19

Sonuç: 19

Karşılaştırma Tablosu: Faktöriyel Bölümünden Kalan

Faktöriyel Aralığı Toplam ve Mod 45 Kalan
0! … 5! 64 19
6! … 100! (tümü mod 45 = 0) 0
Toplam (0!+…+100!) 64 + 0 = 64 19

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
1 100! ve üstü faktöriyeller 45 ile tam bölünür Mod 0
2 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 5! toplamı 64
3 64 mod 45 19
4 Cevap şıkkı E) 19

Sık Sorulan Sorular

1. Neden 10! ve üzeri faktöriyeller tam bölünüyor?
10! içinde en az bir adet 5 ve 2 adet 3 bulunur, böylece 45’in tüm asal çarpanları vardır. Böylece 10! ve üzeri sayılar 45 ile kalansız bölünür.

2. 0! nedir ve neden 1 olarak alınır?
0! tanım olarak 1’dir, matematiksel olarak uyumlu olması için böyle kabul edilir.

3. Büyük faktöriyellerde kalan neden 0 olur?
Çünkü faktöriyel çarpanları artar ve tam bölünebilirlik artar; özellikle asal çarpanlar bolca bulunduğunda kalan sıfırdır.

Sonraki Adımlar

Bu problemi daha iyi anlamak için modüler aritmetik temel kavramlarını öğrenmek ister misiniz? Ya da faktöriyel ve asal çarpanlar arasındaki ilişkiyi derinlemesine açıklamamı ister misiniz?

@Hatice_Akgul

3

16. 0! + 1! + 2! + … + 100! sayısının 45 ile bölümünden kalan kaçtır?

Önemli Noktalar

  • 10! ve üzeri faktöriyel terimleri $45=5\cdot9$’un katsayıları içerdiği için mod 45’te sıfırdır.
  • Toplam sadece $0!$–$5!$ aralığındaki terimlerin kalanı dikkate alınarak hesaplanır.
  • 0!+1!+2!+3!+4!+5!=154 ve 154\mod45=19 sonucunu verir.

Bu toplamın 45 ile bölümünden kalan 19’dur.

İçindekiler Tablosu

  1. Faktöriyel ve Modüler Bölünebilirlik
  2. Adım Adım Hesaplama
  3. Karşılaştırma: Mod 5 vs Mod 9
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

1. Faktöriyel ve Modüler Bölünebilirlik

Faktöriyel tanımı: k! = 1\cdot2\cdot3\cdots k.

  • 5! = 120 sayısı içinde bir 5 çarpanı, 9! içinde ise iki 3 çarpanı olduğundan
  • 10! = 5!\times6\times7\times8\times9\times10 ifadesi hem 5’e hem de 9’a tam bölünür.
    Dolayısıyla k\ge10 için k!\equiv0\pmod{45}.

2. Adım Adım Hesaplama

Toplam $$S=\sum_{k=0}^{100}k! \equiv \sum_{k=0}^{9}k!\pmod{45},$$
çünkü 10!\,. . .100!\equiv0\pmod{45}.

k k! k! mod 45
0 1 1
1 1 1
2 2 2
3 6 6
4 24 24
5 120 30
6 720 0
7 5040 0
8 40320 0
9 362880 0

Toplam: 1+1+2+6+24+30 = 64 \equiv 19\pmod{45}.

3. Karşılaştırma: Mod 5 vs Mod 9

Bu problemi Çin Kalan Teoremi perspektifiyle de inceleyebiliriz:

Remainder Türü Hesap Sonuç
Mod 5 (0!+1!+…+5!)\mod5 = (1+1+2+1+4+0)\mod5=9\mod5 4
Mod 9 (0!+1!+…+5!)\mod9 = 154\mod9 = 1 1
Mod 45 x\equiv4\pmod5,\;x\equiv1\pmod9 \;\Rightarrow x=19 19

4. Özet Tablosu

Adım Özet
Faktöriyel terimlerin analizi k\ge10\implies k!\equiv0\pmod{45}
Kritik toplam 0!+1!+2!+3!+4!+5!=154
Sonuç 154\mod45=19

5. SSS

S1: Faktöriyel terimler neden hızlıca sıfır mod 45 olur?
C1: $10!$’da bir 5 ve iki 3 faktörü bulunduğu için hem 5’e hem 9’a tam bölünür.

S2: Başka hangi modüler sorularda Çin Kalan Teoremi kullanabilirim?
C2: Birden fazla asal çarpana bölünme kalanı sorularında (ör. mod 14 = mod 2 ve mod 7) sıkça işe yarar.

S3: Mod 45 yerine farklı bir bileşik mod olsaydı yöntem değişir miydi?
C3: Yine önemli terimleri belirleyip, her asal bileşene göre kalanı hesaplayıp birleştirirsiniz.

S4: 100! terimine kadar olan toplamın tamamını hesaplamak istersek?
C4: Bilgisayar cebiri sistemleri veya programlama dilleriyle direkt hesaplayabilirsiniz, ancak el işinde modüler sadeleştirme şarttır.

Başka bir modüler aritmetik problemi detaylı çözmemi ister misiniz?
@Hatice_Akgul