C (15 tarie 16’nın çarpımının 8 tane 64’úntóplamina bö-
lümū kaçtir?
A) 817
B)4
C) 1612
D) 329
KAZANIM SORULARI
15 Tane 16’nın Çarpımının 8 Tane 64’ün Toplamına Bölümü
KULLANILAN KURALLAR VE FORMÜLLER:
- n tane a sayısının çarpımı: \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ tane}} = a^n
- n tane a sayısının toplamı: \underbrace{a + a + \dots + a}_{n \text{ tane}} = n \cdot a
- Üslü ifadenin üssü kuralı: (a^x)^y = a^{x \cdot y}
- Tabanları aynı üslü ifadelerde çarpma: a^x \cdot a^y = a^{x+y}
- Tabanları aynı üslü ifadelerde bölme: \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Payın Hesaplanması (15 tane 16’nın çarpımı)
- 15 tane 16’nın birbiriyle çarpımı üslü biçimde 16^{15} olarak ifade edilir.
- Tabanı 2’nin kuvveti şeklinde yazalım (16 = 2^4):16^{15} = (2^4)^{15} = 2^{4 \cdot 15} = 2^{60}
Adım 2 — Paydanın Hesaplanması (8 tane 64’ün toplamı)
- 8 tane 64’ün toplamı çarpma işlemi olarak 8 \cdot 64 şeklinde ifade edilir.
- Terimleri 2’nin kuvveti şeklinde yazalım (8 = 2^3 ve 64 = 2^6):8 \cdot 64 = 2^3 \cdot 2^6 = 2^{3+6} = 2^9
Adım 3 — Bölme İşleminin Yapılması
- Payı paydaya oranlayalım:\frac{16^{15}}{8 \cdot 64} = \frac{2^{60}}{2^9} = 2^{60 - 9} = 2^{51}
Adım 4 — Seçeneklerin İncelenmesi
Bulduğumuz 2^{51} değerini seçeneklerdeki üslü ifadelerle karşılaştıralım:
- A) 8^{17} \rightarrow (2^3)^{17} = 2^{3 \cdot 17} = 2^{51} (Doğru)
- B) 4^{25} \rightarrow (2^2)^{25} = 2^{2 \cdot 25} = 2^{50}
- C) 16^{12} \rightarrow (2^4)^{12} = 2^{4 \cdot 12} = 2^{48}
- D) 32^9 \rightarrow (2^5)^9 = 2^{5 \cdot 9} = 2^{45}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 8^{17}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çarpım ile Toplam Ayrımı
- Tanım: n tane sayının çarpımı üs olarak (a^n), n tane sayının toplamı ise katsayı olarak (n \cdot a) yazılır.
- Bu problemde: Pay kısmında 15 tane 16 çarpıldığı için 16^{15}, paydada 8 tane 64 toplandığı için 8 \cdot 64 kullanılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Toplam ile Çarpım İfadelerini Karıştırmak
- Yanlış: 8 tane 64’ün toplamını 64^8 olarak almak.
- Doğru: 8 tane 64’ün toplamı 8 \cdot 64’tür.
- Neden yanlış: Sayıların kendisiyle tekrarlı çarpımı üs verir; tekrarlı toplamı ise katsayı ile çarpma işlemine dönüşür.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir üslü sayı sorusu çözmemi ister misin?
Bana bu cevabı Özetle
Sorunun Kısa Özeti ve Çözümü
KULLANILAN TEMEL KURALLAR:
- Tekrarlı Çarpım: n tane a’nın çarpımı = a^n
- Tekrarlı Toplam: n tane a’nın toplamı = n \cdot a
3 ADIMDA HIZLI ÇÖZÜM:
1. Pay (Çarpım):
15 \text{ tane } 16\text{'nın çarpımı} = 16^{15} = (2^4)^{15} = 2^{60}
2. Payda (Toplam):
8 \text{ tane } 64\text{'ün toplamı} = 8 \cdot 64 = 2^3 \cdot 2^6 = 2^9
3. Bölme İşlemi ve Şık Eşitleme:
\frac{2^{60}}{2^9} = 2^{60-9} = 2^{51}
- A şıkkı: 8^{17} = (2^3)^{17} = 2^{51}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 8^{17}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Bu tarz sorularda takıldığın başka bir soru tipi veya kural var mı?
toplama nasıl çarpma nasıl
Tekrarlı Toplama ve Tekrarlı Çarpma Arasındaki Fark
Tekrarlı toplama, aynı sayının birbiri ardına eklenmesidir ve çarpma işlemi (n \cdot a) olarak yazılır; tekrarlı çarpma ise aynı sayının kendisiyle art arda çarpılmasıdır ve üslü ifade (a^n) olarak gösterilir.
İçindekiler
Karşılaştırma Tablosu
| Özellik | Tekrarlı Toplama (+) | Tekrarlı Çarpma (\cdot) |
|---|---|---|
| Matematiksel Gösterim | n \cdot a (Katsayı ile çarpım) | a^n (Üslü ifade) |
| İşlem Mantığı | Sayıyı n defa toplamak | Sayıyı n defa kendisiyle çarpmak |
| Örnek (4 tane 5) | 5 + 5 + 5 + 5 = 4 \cdot 5 = 20 | 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4 = 625 |
| Büyüme Şekli | Doğrusal (Lineer) artar | Üstel (Çok hızlı) artar |
1. Tekrarlı Toplama Mantığı (Çarpma)
Aynı sayıyı birden fazla kez toplamak kısaca çarpma işlemine eşittir. Kaç tane sayı toplandığı katsayı olarak yazılır.
- Genel Kural: \underbrace{a + a + a + \dots + a}_{n \text{ tane}} = n \cdot a
- Örnek 1: 3 tane 7’nin toplamı \rightarrow 7 + 7 + 7 = 3 \cdot 7 = 21
- Örnek 2: 8 tane 64’ün toplamı \rightarrow 8 \cdot 64 = 2^3 \cdot 2^6 = 2^9
2. Tekrarlı Çarpma Mantığı (Üslü Sayı)
Aynı sayıyı kendisiyle peş peşe çarpmak üslü ifade (kuvvet) oluşturur. Çarpılan sayı adedi sağ üst köşeye üs olarak gelir.
- Genel Kural: \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ tane}} = a^n
- Örnek 1: 3 tane 7’nin çarpımı \rightarrow 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^3 = 343
- Örnek 2: 15 tane 16’nın çarpımı \rightarrow 16^{15} = (2^4)^{15} = 2^{60}
Özet Tablo
| İfade | Matematiksel Kural | Örnek (3 tane 2) | Sonuç |
|---|---|---|---|
| n tane a’nın Toplamı | n \cdot a | 2 + 2 + 2 = 3 \cdot 2 | 6 |
| n tane a’nın Çarpımı | a^n | 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 | 8 |
Bu ayrımı pekiştirmek için birlikte hızlı bir alıştırma sorusu çözelim mi?