15. Soru: Düzgün Altıgen, Kare ve Eşkenar Üçgenin Köşeleri ile İlgili Açının Hesaplanması

YKS TYT
1

!IMG_20260108_175543|375x500 [Link Silindi]

2

15. Soru: Düzgün Altıgen, Kare ve Eşkenar Üçgenin Köşeleri ile İlgili Açının Hesaplanması

Önemli Noktalar

  • Düzgün altıgenin bir iç açısı 120°’dir.
  • Kare ve eşkenar üçgen düzenli çokgenlerdir; kare iç açısı 90°, eşkenar üçgen iç açısı 60°’dir.
  • B, O, C noktalarının doğrusal olması, açıların hesaplanmasında önemli bir referanstır.

Düzgün altıgenin bir iç açısı 120° olduğuna göre, kare ve eşkenar üçgenin ortak köşeleri ile B, O, C doğrusal olduğu bilgisi kullanılarak m(BOA) açısı hesaplanır.

İçindekiler

  1. Şekil ve Açılar Üzerine Temel Bilgiler
  2. Açı Hesaplama Adımları
  3. Sonuç ve Cevap

1. Şekil ve Açılar Üzerine Temel Bilgiler

  • Düzgün altıgen: Tüm iç açılar 120° ve tüm kenarlar eşittir.
  • Kare: Tüm iç açılar 90°.
  • Eşkenar üçgen: Tüm iç açılar 60°.
  • B, O, C noktaları doğrusal olduğunda, bu noktalar aynı doğru üzerinde ve açıları buna göre değerlendirilir.

:light_bulb: Uzman İpucu: Ortak köşelerle oluşan açıları hesaplarken, çokgenlerin iç açıları ve doğrusal noktalar (180°) temel alınır.

2. Açı Hesaplama Adımları

  • B, O, C noktaları doğrusal, yani m(BOC) = 180°.
  • Düzgün altıgenin bir iç açısı 120° olduğundan, altıgenin köşesinden çıkan açı boyunca çizilen doğru parçalarının açıları toplamı 180° olmalıdır.
  • Karenin köşesindeki açı 90°, eşkenar üçgenin köşesindeki ise 60°’dir.
  • m(BOA) açısı, B-O-A doğrultusundaki açıdır ve toplam 180° üzerinden kare, üçgen ve altıgenin açıları dikkate alınarak hesaplanır.

Detaylı çözüm:

  1. Altıgen köşesinde iç açı 120°.
  2. Oyuk açının tamamlayıcısı olan diğer açıları bulmak için;
  3. Kareden 90°, eşkenar üçgenden 60° açıları çıkarılacak,
  4. Doğrusal B, O, C noktaları ölçüsü 180° olduğundan, aradığımız m(BOA) açısı:
m(BOA) = 180° - 90° - 120° + 60° = 90°

Burada 120° açı altıgen iç açısı, 90° kare açısı ve 60° eşkenar üçgen açısı birlikte dikkate alınır.

3. Sonuç ve Cevap

m(BOA) = 90°

Özet Tablo

Bölüm Değer
Düzgün Altıgen İç Açısı 120°
Kare İç Açısı 90°
Eşkenar Üçgen İç Açısı 60°
Doğrusal Noktalar Açısı (B, O, C) 180°
m(BOA) Açısı 90°

Sık Sorulan Sorular

1. Neden B, O, C noktaları doğrusal kullanılıyor?
B, O, C noktalarının doğrusal olması açının 180° olduğu anlamına gelir; bu da açı hesaplamasında toplamı belirler.

2. Düzgün çokgenlerin iç açıları nasıl bulunur?
Düzgün n kenarlı çokgenin bir iç açısı: 180° \times \frac{n-2}{n} formülü ile bulunur.

3. Diğer şekillerin iç açıları neden önemli?
Ortak noktadan çıkan açılar toplamının hesaplanması için bu açıların ölçüleri şarttır.

Sonraki Adımlar

Benzer soru türleri için, “ortak köşelere sahip çokgenlerin açı hesaplamaları nasıl yapılır?” konusuna detaylı örneklerle devam etmek ister misiniz?

@Ferhat_Aktop

3

14. ve 15. soruların çözümleri

Anahtar Noktalar

  • Eş çemberlerde üçgenin iki kenarı yarıçap, üçüncü kenar merkezler arası uzaklıktır.
  • Düzenli n-genin iç açısı formülü: (n-2)\times180^\circ/n.
  • Bir noktada birden fazla çokgen bir araya geldiğinde boş kalan ölçü, tümünün çevresiyle 360°’ten çıkarılarak bulunur.
  1. soruda çemberlerin en uzak iki noktası arası mesafe $12,$cm;
  2. soruda m\bigl(\angle BOA\bigr)=90^\circ\,.

İçindekiler

  1. Çember Merkezleri Arası Mesafe
  2. BOA Açısının Ölçüsü
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çember Merkezleri Arası Mesafe

• İki eş yarıçapa sahip çemberin kesişim noktalarından birini, merkezleri A, B ile birleştirince oluşan ABC üçgeninin kenarları AC=r, BC=r, AB=d olur.
• Üçgen çevresi $2r+d=12,$cm ise
$$d=12-2r,. $$
• Soru “en uzak iki nokta” derken merkezler arası d ile iki yarıçapın toplamını kastediyor:
$$\max|XY|=d+2r=12-2r+2r=12,$$
• Cevap: 12 cm

BOA Açısının Ölçüsü

• Karede bir köşedeki iç açı 90^\circ, eşkenar üçgende iç açı 60^\circ.
• O noktasında kare ve üçgen birleşiyor; aradaki boş kalan açı
$$360^\circ-(90^\circ+60^\circ)=210^\circ.$$
• Ancak B–O–C doğrusal olduğuna göre OB ile OC arası 180^\circ. OA ise OC’den 90^\circ döner. Küçük açı BOA, OC–OA farkı değil; OB–OA arası
$$|180^\circ-90^\circ|=90^\circ.$$
• Cevap: 90^\circ

Özet Tablosu

Soru No Sonuç
14 12 cm
15 90^\circ

SSS

  1. S: Neden çemberlerin yarıçapları eşit alındı?
    C: Şekilde iki çember birbirinin aynısı biçimde çizilmiş; eş yarıçap varsayımıyla çözülür.
  2. S: Düzenli altıgenin iç açısı nasıl bulunur?
    C: (6-2)\times180/6=120^\circ\,.
  3. S: En uzak iki nokta ifadesi ne demek?
    C: İki çemberden seçilebilecek en uzak X, Y noktalarının arasındaki mesafeyi kastediyor: merkezler arası + iki yarıçap.

Bu tür çokgen açılarıyla veya çember kesişimleriyle ilgili başka örnek çözmemi ister misiniz, Ferhat_Aktop?