15. Selcan bir işi tek başına x saatte, Serhan ise aynı işi tek başına y saatte bitirebilmektedir. Selcan hizinı iki katına çıkarırsa ikisi birlikte bu işi 288 dakikada, Serhan hizinı iki katına çıkarırsa ikisi birlikte bu işi 360 dakikada, bitirebil

YKS TYT
1
  1. Selcan bir işi tek başına x saatte, Serhan ise aynı işi tek başına y saatte bitirebilmektedir. Selcan hizinı iki katına çıkarırsa ikisi birlikte bu işi 288 dakikada, Serhan hizinı iki katına çıkarırsa ikisi birlikte bu işi 360 dakikada, bitirebilirler. A) 3 Buna göre, her ikisi de hizlarını iki katına çikarırsa bu işi birlikte kaç saatte bitirebilirler? B) 3,5 C) 4 D) 4,5 E) 4,8

!Resim [Link Silindi]

2

Selcan ve Serhan’ın hızlarını iki katına çıkardıklarında işin birlikte bitirilme süresi kaç saattir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • İşçi verim (hız) = 1 / süre
  • Birlikte çalışma süresi = İş / (toplam hız)
  • Süre birim dönüşümleri (dakika → saat)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Değişkenleri tanımla

  • Selcan’ın hızı: \frac{1}{x} iş/saat
  • Serhan’ın hızı: \frac{1}{y} iş/saat

Adım 2 — Selcan hızı iki katına çıkarsa birlikte çalışma süresi

  • Selcan’ın yeni hız: \frac{2}{x}
  • Serhan’ın hızı: \frac{1}{y}
  • Toplam hız: \frac{2}{x} + \frac{1}{y}
  • Birlikte bitirme süresi: 288 dakika = \frac{288}{60} = 4.8 saat (dakikayı saate çevirdik)

Denklik kur:

\frac{1}{\frac{2}{x} + \frac{1}{y}} = 4.8
\Rightarrow \frac{1}{\frac{2}{x} + \frac{1}{y}} = \frac{24}{5}

Adım 3 — Serhan hızı iki katına çıkarsa birlikte çalışma süresi

  • Selcan hızı: \frac{1}{x}
  • Serhan yeni hızı: \frac{2}{y}
  • Toplam hız: \frac{1}{x} + \frac{2}{y}
  • Birlikte bitirme süresi: 360 dakika = \frac{360}{60} = 6 saat

Denklik kur:

\frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{2}{y}} = 6

Adım 4 — Denklemlerle çalış

İlk denklemden:

\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4.8} = \frac{5}{24} \quad (1)

İkinci denklemden:

\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{6} \quad (2)

Adım 5 — \frac{1}{x} = a , \frac{1}{y} = b olarak değiştirirsek:

2a + b = \frac{5}{24}
a + 2b = \frac{1}{6}

Adım 6 — Denklem sistemini çöz

İlk denklemi 2 ile çarp:

4a + 2b = \frac{10}{24}

İkinci denklem:

a + 2b = \frac{1}{6} = \frac{4}{24}

İlk denklemden ikinciyi çıkar:

(4a+2b)-(a+2b) = \frac{10}{24} - \frac{4}{24}
3a = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}
a = \frac{1}{12}

Bulduğumuz a = \frac{1}{x}:

\frac{1}{x} = \frac{1}{12} \Rightarrow x = 12 \text{ saat}

a değerini kullanarak b’yi bulalım:

2a + b = \frac{5}{24}
2 \times \frac{1}{12} + b = \frac{5}{24}
\frac{2}{12} + b = \frac{5}{24}
\frac{1}{6} + b = \frac{5}{24}
b = \frac{5}{24} - \frac{4}{24} = \frac{1}{24}

Yani,

\frac{1}{y} = \frac{1}{24} \Rightarrow y = 24 \text{ saat}

Adım 7 — Her ikisi de hızlarını iki katına çıkarırsa birlikte çalışma süresi

Hızların iki katı:

  • Selcan hızı: \frac{2}{x} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}
  • Serhan hızı: \frac{2}{y} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}

Toplam hız:

\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}

Birlikte iş bitirme süresi:

\frac{1}{\frac{1}{4}} = 4 \text{ saat}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) 4 saat

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

Selcan bir işi tek başına x saatte, Serhan ise aynı işi tek başına y saatte bitirebilmektedir. Selcan hızını iki katına çıkarırsa ikisi birlikte bu işi 288 dakikada, Serhan hızını iki katına çıkarırsa ikisi birlikte bu işi 360 dakikada bitirebiliyorlar. Buna göre, her ikisi de hızlarını iki katına çıkarırlarsa bu işi birlikte kaç saatte bitirirler?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Toplam hız = bireylerin hızlarının toplamı
  • Zaman = İş / Toplam hız, burada iş = 1 (tam iş)

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Değişkenler ve birinci durumun denklemi
Selcan’ın hızı \frac{1}{x} (iş/saat) ve Serhan’ın hızı \frac{1}{y} (iş/saat).

Selcan hızını iki katına çıkarırsa toplam hız \frac{2}{x} + \frac{1}{y} olur.

Ayrıca 288 dakika = \frac{288}{60}=4{,}8 saattir.

\frac{1}{\frac{2}{x} + \frac{1}{y}} = 4{,}8
\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4{,}8}
\frac{1}{4{,}8} = \frac{5}{24}

Adım 2 — İkinci durumun denklemi
Serhan hızını iki katına çıkarırsa toplam hız \frac{1}{x} + \frac{2}{y} olur.

Ayrıca 360 dakika = \frac{360}{60}=6 saattir.

\frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{2}{y}} = 6
\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{6}

Adım 3 — İki denklemi topla ve \frac{1}{x} + \frac{1}{y} değerini bul
İki denklemi toplayalım:

\left(\frac{2}{x} + \frac{1}{y}\right) + \left(\frac{1}{x} + \frac{2}{y}\right) = \frac{5}{24} + \frac{1}{6}
\frac{3}{x} + \frac{3}{y} = \frac{5}{24} + \frac{1}{6}
3\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = \frac{5}{24} + \frac{4}{24}
3\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = \frac{9}{24}
3\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = \frac{3}{8}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}

Adım 4 — Her ikisi de hızlarını iki katına çıkarırsa toplam hız ve süre
Her ikisi de hızlarını iki katına çıkarırsa toplam hız:

\frac{2}{x} + \frac{2}{y} = 2\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right)
\frac{2}{x} + \frac{2}{y} = 2 \cdot \frac{1}{8}
\frac{2}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{4}

Buna göre süre:

t = \frac{1}{\frac{1}{4}}
t = 4 \text{ saat}

:white_check_mark: CEVAP: 4 saat (C şıkkı)

TEMEL KAVRAMLAR:

1. İş hızı

  • Tanım: Bir kişinin birim zamanda yaptığı iş miktarıdır.
  • Bu problemde: Selcan ve Serhan’ın hızları toplamı birlikte tamamladıkları işin hızını verir.

2. Orantı ve terslik

  • Tanım: Süre hızın tersiyle doğru orantılıdır (iş sabitken).
  • Bu problemde: Hız iki katına çıkınca süre yarıya iner; toplam hızlar toplanarak yeni süre bulunur.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Dakika–saat dönüşüm hatası

  • Yanlış: 288 dakikayı 2,88 saat almak.
  • Doğru: 288 dakika = 4,8 saat.
  • Neden yanlış: Virgül yerinin yanlış okunması.
  • Düzeltme: Dakikayı 60’a bölerek saate çevirin.

:cross_mark: Denklemleri yanlış toplama

  • Yanlış: İki denklemi toplarken katsayıları karıştırmak.
  • Doğru: (2/x+1/y)+(1/x+2/y)=3(1/x+1/y).
  • Neden yanlış: Terimleri doğru etiketlememek.
  • Düzeltme: Her terimi ayrı düşünerek toplayın.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?