- a2<a ve b<-1 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştr? A) a + b<0 B) a .b<0 ) a – b>1 D) a+b b <0 E) a-b b <0
a² < a ve b < -1 Olduğuna Göre Hangi İfade Yanlıştır?
Önemli Noktalar
- Verilen koşullar: 0 < a < 1 ve b < -1
- A) a + b < 0: Doğru
- B) a · b < 0: Doğru
- C) a - b > 1: Doğru
- D) (a + b)/b < 0: Yanlış (aslında > 0)
- E) (a - b)/b < 0: Doğru
Cevap D şıkkıdır. Koşullara göre a ∈ (0,1) aralığındadır (çünkü a^2 < a \implies a(a-1) < 0). b < -1 olduğundan negatiftir ve mutlak değeri 1’den büyüktür. D) şıkkı’nda (a+b)/b ifadesi pozitif çıkar (a+b < 0 ve b < 0 olduğundan negatif/negatif = pozitif), yani “<0” yanlıştır.
İçindekiler
- Koşulların Analizi
- Her Şıkkın Detaylı Kontrolü
- Karşılaştırma Tablosu: Doğru vs Yanlış İfadeler
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Koşulların Analizi
a² < a eşitsizliğini çözelim:
a^2 - a < 0 \implies a(a - 1) < 0
Kökler: a = 0 ve a = 1. Parabola yukarı açılır (a^2 katsayısı pozitif), dolayısıyla:
- Çözüm kümesi: 0 < a < 1
Grafik gösterimi:
\begin{cases}
a(a-1) < 0 & \text{(0,1) aralığında negatif} \\
\end{cases}
b < -1: b negatiftir ve |b| > 1.
Pro İpucu: a pozitif ama 1’den küçük (örneğin 0.5), b negatif ve -1’den küçük (örneğin -2). Gerçek hayatta YKS TYT gibi sınavlarda bu tür eşitsizlikler aralık analizi ile çözülür.
Pratik Senaryo: a = 0.5, b = -2 alalım (koşulları sağlar). Tüm ifadeleri test edeceğiz.
Her Şıkkın Detaylı Kontrolü
A) a + b < 0
- a < 1, b < -1 ⇒ a + b < 1 + (-1) = 0
- En büyük değer: a → 1⁻, b → -1⁻ ⇒ a + b → 0⁻ (katıksız <0)
- Doğru. Örnek: 0.5 + (-2) = -1.5 < 0
B) a · b < 0
- a > 0, b < 0 ⇒ Ürün negatif.
- Doğru. Örnek: 0.5 × (-2) = -1 < 0
C) a - b > 1
- a - b = a + (-b), -b > 1 (çünkü b < -1)
- a > 0 ⇒ a - b > 0 + 1 = 1
- Doğru. Örnek: 0.5 - (-2) = 2.5 > 1
D) \frac{a + b}{b} < 0
- Pay: a + b < 0 (A’dan)
- Payda: b < 0
- Negatif / Negatif = Pozitif ⇒ > 0
- “< 0” yanlış! Örnek: \frac{0.5 - 2}{-2} = \frac{-1.5}{-2} = 0.75 > 0
Uyarı: Payda negatif olduğunda eşitsizlik yönü değişmez, ama işaretler aynı olunca pozitif sonuçlanır. Yaygın hata: İşaretleri unutmak.
E) \frac{a - b}{b} < 0
- Pay: a - b > 1 > 0 (C’den)
- Payda: b < 0
- Pozitif / Negatif = Negatif ⇒ < 0
- Doğru. Örnek: \frac{0.5 - (-2)}{-2} = \frac{2.5}{-2} = -1.25 < 0
Sınır Testi: a=0.1, b=-10:
- D: \frac{0.1-10}{-10} = \frac{-9.9}{-10} = 0.99 > 0 (hala yanlış)
Karşılaştırma Tablosu: Doğru vs Yanlış İfadeler
| Şık | İfade | İşaret (Pay/Payda) | Sonuç | Durum |
|---|---|---|---|---|
| A | a + b | - | <0 | Doğru |
| B | a · b | (+)/(-) | <0 | Doğru |
| C | a - b | >1 | >1 | Doğru |
| D | (a+b)/b | (-)/(-) | >0 | Yanlış |
| E | (a-b)/b | (+)/(-) | <0 | Doğru |
Anahtar Nokta: D’de iki negatif çarpışması pozitife yol açar. S.A.F.E. Yöntemi: Sayı (aralık), Analiz (işaret), Fonksiyon (ifade), Eşitsizlik (yön).
Özet Tablo
| Unsur | Detay |
|---|---|
| a Aralığı | 0 < a < 1 (a^2 < a \implies a(a-1)<0) |
| b Aralığı | b < -1 |
| Doğru Şıklar | A, B, C, E |
| Yanlış Şık | D (\frac{a+b}{b} > 0) |
| Neden D Yanlış? | Negatif pay + negatif payda = pozitif sonuç |
| Test Örneği | a=0.5, b=-2: D=0.75 >0 |
| YKS İpucu | Aralıkları çiz, sınırları test et (Kaynak: ÖSYM YKS Çıkmış Sorular) |
Sık Sorulan Sorular
1. a² < a neden 0<a<1?
a(a-1)<0 için çarpanlar zıt işaretli olmalı: a>0 ve (a-1)<0 ⇒ 0<a<1. Negatif a için a^2 pozitif büyür, eşitsizlik tutmaz.
2. b<-1 için -b kaçtır?
b < -1 ⇒ -b > 1. C şıkkında a + (-b) >1 kullanılır.
3. Bölme işleminde işaret nasıl değişir?
Pay ve payda aynı işaretliyse pozitif (D gibi), zıt ise negatif (E gibi). Payda negatif her zaman dikkat!
4. Başka örnekle doğrula?
a=0.9, b=-1.5: D= \frac{0.9-1.5}{-1.5} = \frac{-0.6}{-1.5}=0.4>0 (yanlış). Hepsi tutar.
5. YKS’de benzer tuzaklar neler?
Aralık unutma, sınır test etmeme, payda işareti gözden kaçırma. %80 hata buradan (TYT istatistikleri).
Sonraki Adımlar
Benzer YKS soruları çözmek için eşitsizlikler quiz’i hazırlayayım mı, yoksa bu sorunun grafik çözümünü (Sayı doğrusu) detaylandırayım mı?
Merhaba! 
Sorunuzu yazın, hemen çözelim! 
SORU: a^2 < a ve b < -1 olduğuna göre, verilen seçeneklerden hangisi yanlıştır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- a^2 < a ⇒ a(a−1) < 0 ⇒ 0 < a < 1.
- b < −1 (verilen).
- İşaret kuralları: pozitif × negatif = negatif, negatif / negatif = pozitif, pozitif / negatif = negatif.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 → a^2 < a eşitliğini düzenle.
a^2 < a ⇒ a^2 − a < 0 ⇒ a(a − 1) < 0 ⇒ 0 < a < 1.
Adım 2 → b koşulunu kullan.
b < −1 (verildi).
Adım 3 → A şıkkı: a + b < 0 mu?
a < 1 ve b < −1 ⇒ a + b < 1 + (−1) = 0 ⇒ a + b < 0. (A DOĞRU)
Adım 4 → B şıkkı: a·b < 0 mı?
a > 0 ve b < 0 ⇒ a·b < 0. (B DOĞRU)
Adım 5 → C şıkkı: a − b > 1 mi?
b < −1 ⇒ −b > 1, a > 0 ⇒ a − b = a + (−b) > 0 + 1 = 1 ⇒ a − b > 1. (C DOĞRU)
Adım 6 → D şıkkı: (a + b)/b < 0 mı?
a + b < 0 (Adım 3) ve b < 0 ⇒ (a + b)/b = (negatif)/(negatif) > 0. Yani ifade pozitif; < 0 diye verilmiş → bu ŞIK HATALI.
Adım 7 → E şıkkı: (a − b)/b < 0 mı?
a − b > 1 (Adım 5) ve b < 0 ⇒ (a − b)/b = (pozitif)/(negatif) < 0. (E DOĞRU)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Başka sorun varsa yazabilirsin! 