15. 5 sin³x – sin²x·cos x = 0 denkleminin [−π, π] aralığında kaç kökü vardır?

YKS TYT
1

image
image646×254 20.4 KB

2

Trigonometri Denkleminde Kök Sayısı Bulma

Önemli Noktalar

  • Verilen denklem: (5\sin^3 x - \sin^2 x \cos x = 0)
  • İncelenen aralık: ([-π, π])
  • Amaç: Denklem için verilen aralıkta kaç tane kök vardır bulmak.

Verilen denklemde önce ortak çarpanlar alınarak ifade sadeleştirilir ve kökler bulunur. Ardından, köklerin aralık içindeki sayısı hesaplanır.

İçindekiler

  1. Denklemin Sadeleştirilmesi ve Kökler
  2. Köklerin Aralıktaki Değerlendirilmesi
  3. Karşılaştırma Tablosu: Kök Sayısı ve Periyot İlişkisi
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Denklem Sadeleştirilmesi ve Kökler

Verilen denklem:

[
5\sin^3 x - \sin^2 x \cos x = 0
]

İlk olarak ortak çarpan (\sin^2 x) alınır:

[
\sin^2 x (5 \sin x - \cos x) = 0
]

Böylece denklemin kökleri:

  1. (\sin^2 x = 0 \Rightarrow \sin x = 0)
  2. (5 \sin x - \cos x = 0 \Rightarrow 5 \sin x = \cos x \Rightarrow \tan x = \frac{1}{5})

1. Kökler: (\sin x = 0)

(\sin x = 0) denkleminin kökleri:

[
x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]

İncelenen aralık ([-π, π]) olduğundan burada:

[
x = -\pi, 0, \pi
]

Toplam 3 kök.

2. Kökler: (\tan x = \frac{1}{5})

(\tan x = \frac{1}{5}) için genel çözüm:

[
x = \arctan\left(\frac{1}{5}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]

Burada (\arctan\left(\frac{1}{5}\right) \approx 0.1974) radyandır.

Deneyelim ([-π, π]) aralığında hangi (k) değerleri uygulanabilir:

  • (k = -1): (x = 0.1974 - \pi \approx -2.944), bu değer ([-π,-3.1415]) aralığında değil, fakat biraz büyük, -2.944 \in [-π, π] dahilinde.
  • (k = 0): (x = 0.1974) (aralık içinde)
  • (k = 1): (x = 0.1974 + \pi \approx 3.339) → aralık dışında (çünkü üst sınır (\pi \approx 3.1415))
  • (k = -2): (x = 0.1974 - 2\pi \approx -6.086) → aralık dışında

Aralıkta olanlar:

  • (x_1 = 0.1974 - \pi \approx -2.944)
  • (x_2 = 0.1974)

Toplam 2 kök.

Köklerin Aralıktaki Toplam Sayısı

Tüm kökler:

  • (\sin x = 0)den: 3 kök
  • (\tan x = \frac{1}{5}) den: 2 kök

Toplam:

[
3 + 2 = 5
]

Yani, denklem ([-π, π]) aralığında 5 tane köke sahiptir.

Karşılaştırma Tablosu: Kökler ve Çözümler

Kısım Denklem Parçaları Kökler Aralıktaki Kök Sayısı
(\sin^2 x = 0) (\sin x = 0) (x = k\pi) 3
(5 \sin x - \cos x = 0) (\tan x = \frac{1}{5}) (x = \arctan(\frac{1}{5}) + k\pi) 2
Toplam 5

Özet Tablo

Adım Sonuç
Denklem (5\sin^3 x - \sin^2 x \cos x = 0)
Ortak Çarpan Bulma (\sin^2 x (5 \sin x - \cos x) = 0)
Birinci Kök (\sin x = 0) → 3 kök aralıkta
İkinci Kök (\tan x = \frac{1}{5}) → 2 kök aralıkta
Toplam Kök Sayısı 5

Sık Sorulan Sorular

1. Neden (\sin^2 x = 0) denklemi (\sin x = 0) olarak alındı?
(\sin^2 x = 0) eşitliği ancak (\sin x=0) olduğunda sağlanır. Kare alma fonksiyonu tekil olmadığı için sadece bu durum geçerlidir.

2. (\tan x = \frac{1}{5}) denkleminin genel çözümü neden (x = \arctan(1/5) + k\pi)?
Tanjant fonksiyonu periyot olarak (\pi) ye sahiptir, yani tüm çözümler (\arctan) çözümlerinin (\pi) katları kadar yer değiştirerek elde edilir.

3. ([-π, π]) aralığında kaç tane tanjant kökü olabilir?
Tanjant fonksiyonunun periyodu (\pi) olduğundan aralıkta maksimum 2 tane kök olabilir (biri ana kök, diğeri ise (\pm \pi) kadar kaymış kök).

Sonraki Adımlar

Bu tip trigonometrik denklemlerde çözüm metodlarını pekiştirmek ister misiniz?

  • Karmaşık trigonometrik denklemlerde kök sayısının nasıl daha hızlı tespit edildiğine dair örnekler görmek ister misiniz?
  • Periyot ve aralık ilişkisini kullanarak farklı aralıklardaki kök sayılarını nasıl hesaplayabileceğinizi öğrenmek ister misiniz?

@Abdurrahman2134

3

15. 5 sin³x – sin²x·cos x = 0 denkleminin [−π, π] aralığında kaç kökü vardır?

Anahtar Noktalar

  • Denklem \,5\sin^3x - \sin^2x\cos x=0\, formunda ve faktörleme ile çözülür.
  • İki durum var:
    1. \sin^2x=0 ⇒ \sin x=0 ⇒ x=k\pi
    2. 5\sin x-\cos x=0 ⇒ \tan x=\tfrac15
  • Her iki durumdaki çözümler sayılarak toplam kök sayısı bulunur.

Doğrudan Cevap:
Bu denklemin [-\pi,\pi] aralığında 5 kökü vardır.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

Çözüm Adımları

  1. Denklemi faktörleyin:

    5\sin^3x - \sin^2x\cos x = \sin^2x\,(5\sin x - \cos x) = 0.

  2. Birinci durum: \sin^2x=0

    • \sin x=0 \;\Rightarrow\; x=k\pi.
    • [-\pi,\pi] aralığında k=-1,0,1 ⇒ x=-\pi,0,\pi (3 kök).

  3. İkinci durum: 5\sin x - \cos x=0

    • \displaystyle \tan x = \frac{1}{5}.
    • Temel çözüm x_0 = \arctan\!\bigl(\tfrac15\bigr)\approx0.1974.
    • Genel çözüm x = x_0 + k\pi.
    • [-\pi,\pi] için k=0\Rightarrow x\approx0.1974, k=-1\Rightarrow x\approx0.1974-\pi\approx-2.9452 (2 kök).

  4. Toplam kök sayısı = 3 + 2 = 5.

Özet Tablosu

Durum Kökler Kök Adedi
\sin^2x=0 x=k\pi\, (−π, 0, π) 3
5\sin x-\cos x=0 x=\arctan(\tfrac15)+k\pi (≈0.1974, −2.9452) 2
Toplam — 5

SSS

  1. Bu denklemde hangi özdeşlik ve faktörleme adımları kullanıldı?
  2. Periyodik bir trigonometrik denklemin kökleri nasıl bulunur?
  3. \tan x=\tfrac15 için genel çözüm formülü nedir ve periyodu kaçtır?
  4. Farklı bir aralıkta (örneğin [0,2\pi]) kök sayısını nasıl bulursunuz?

Çözümü pekiştirmek için 3 adet benzer alıştırma sorusu ister misiniz?
@Abdurrahman2134