15 3 12 Sin2 Sine = cota =

Question Answer
1

15
3
12
Sin2
Sine =
cota =

15 3 12 Sin2 Sine = cota =
15 3 12 Sin2 Sine = cota =1017×800 46 KB

2

Dik Üçgende Trigonometrik Oranların Hesaplanması

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Dik üçgende bir \alpha dar açısı için trigonometrik bağıntılar ve Pisagor teoremi:

  • \text{Pisagor Teoremi:} \quad a^2 + b^2 = c^2 \quad (\text{Dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir})
  • \sin\alpha = \dfrac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}
  • \cos\alpha = \dfrac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}
  • \tan\alpha = \dfrac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}}
  • \cot\alpha = \dfrac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Karşı Dik Kenar}}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

4. Sorunun Çözümü

Adım 1 — Bilinmeyen Kenarı Pisagor Teoremi ile Bulma
Verilen dik üçgende hipotenüs 15, \alpha açısının karşısındaki kenar 12’dir. \alpha açısının komşusundaki bilinmeyen kenara x diyelim:

x^2 + 12^2 = 15^2
x^2 + 144 = 225
x^2 = 81 \implies x = 9

(Bu üçgen, 3-4-5 özel dik üçgeninin 3 katı olan 9-12-15 üçgenidir).

Adım 2 — Trigonometrik Değerleri Yazma ve Sadeleştirme

  • \sin\alpha = \dfrac{\text{Karşı}}{\text{Hipotenüs}} = \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}
  • \cos\alpha = \dfrac{\text{Komşu}}{\text{Hipotenüs}} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}
  • \tan\alpha = \dfrac{\text{Karşı}}{\text{Komşu}} = \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}
  • \cot\alpha = \dfrac{\text{Komşu}}{\text{Karşı}} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}

5. Sorunun Çözümü

Adım 1 — Hipotenüs Uzunluğunu Bulma
\alpha açısının komşu dik kenarı 2, karşı dik kenarı 3’tür. Hipotenüse c diyelim:

c^2 = 2^2 + 3^2
c^2 = 4 + 9 = 13 \implies c = \sqrt{13}

Adım 2 — Trigonometrik Değerleri Yazma

  • \sin\alpha = \dfrac{\text{Karşı}}{\text{Hipotenüs}} = \dfrac{3}{\sqrt{13}} = \dfrac{3\sqrt{13}}{13}
  • \cos\alpha = \dfrac{\text{Komşu}}{\text{Hipotenüs}} = \dfrac{2}{\sqrt{13}} = \dfrac{2\sqrt{13}}{13}
  • \tan\alpha = \dfrac{\text{Karşı}}{\text{Komşu}} = \dfrac{3}{2}
  • \cot\alpha = \dfrac{\text{Komşu}}{\text{Karşı}} = \dfrac{2}{3}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP:

4. Soru:

  • \sin\alpha = \mathbf{\dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}}
  • \cos\alpha = \mathbf{\dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}}
  • \tan\alpha = \mathbf{\dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}}
  • \cot\alpha = \mathbf{\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}}

5. Soru:

  • \sin\alpha = \mathbf{\dfrac{3}{\sqrt{13}}} (veya \mathbf{\dfrac{3\sqrt{13}}{13}})
  • \cos\alpha = \mathbf{\dfrac{2}{\sqrt{13}}} (veya \mathbf{\dfrac{2\sqrt{13}}{13}})
  • \tan\alpha = \mathbf{\dfrac{3}{2}}
  • \cot\alpha = \mathbf{\dfrac{2}{3}}
    ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Karşı ve Komşu Kenar: Bir dar açının baktığı kenar karşı dik kenar, açının kolları arasında yer alan dik kenar ise komşu dik kenar olarak adlandırılır. Hipotenüs daima 90^\circ’lik açının karşısındaki en uzun kenardır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: 5. soruda \alpha açısının yerini dikkate almadan yatay kenarı daima komşu, dikey kenarı daima karşı kabul etmek.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Kenarları belirlerken açının bulunduğu köşeye göre bakılmalıdır. 5. soruda \alpha üst köşede olduğu için karşısındaki kenar 3, komşusundaki kenar 2’dir.

Bu konuyla ilgili pekiştirme amaçlı benzer bir soru çözmek ister misin?