- Bir tur şirketi, düzenleyeceği bir gezi için kişi başı
140 TL ücret talep etmektedir. Kayıt yaptıranlarıin
sayısının 80’den fazla olması hâlinde, 80’in Üze-
rindeki her bir kişi için tüm katılımcılara 50’şer
kuruş geri ödeme yapılacaktır. Kontenjan 200
kişi ile sinırlidır.
Örneğin, geziye 100 kişi katıilirsa herkese 10’ar
TL geri ödeme yapilıyor ve kişi başı 130 TL ücret
alinmiş oluyor.
Buna göre, geziye kaç kişi katılirsa şirketin katı-
lmcilardan elde edeceği gelir en fazla olur?
A) 160
B) 165 C) 175 D) 180 E) 185
(2013- LYS 1/MAT)
140 TL Ücret Talep Eden Tur Şirketi Maksimum Gelir Problemi
KULLANILAN FORMÜL:
Bu bir Maksimum-Minimum (Türev) problemidir. Toplam Gelir fonksiyonunu oluşturmak için şu temel formül kullanılır:
\text{Toplam Gelir} = \text{Kişi Sayısı} \times \text{Kişi Başı Ücret}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişkenlerin Tanımlanması
Geziye katılan kişi sayısını 80 üzerinden tanımlayalım.
- 80 kişinin üzerindeki ek kişi sayısı: x olsun.
- Toplam katılan kişi sayısı: 80 + x olur.
Adım 2 — Kişi Başı Ücret Fonksiyonunun Oluşturulması
Normal ücret 140 TL’dir. 80 kişinin üzerindeki her bir kişi için 50 kuruş (0,5 TL) indirim yapılacaktır.
- Yapılacak toplam indirim: 0,5 \cdot x TL
- Yeni kişi başı ücret: 140 - 0,5x TL
Adım 3 — Toplam Gelir Fonksiyonunu (f(x)) Yazma
Gelir, kişi sayısı ile kişi başı ücretin çarpımıdır:
f(x) = (80 + x) \cdot (140 - 0,5x)
Denklemi dağıtalm:
f(x) = 11200 - 40x + 140x - 0,5x^2
f(x) = -0,5x^2 + 100x + 11200
Adım 4 — Maksimum Değer İçin Türev Alma
Bir fonksiyonun maksimum değerini bulmak için türevini alıp sıfıra eşitleriz:
f'(x) = -1x + 100
-x + 100 = 0 \implies x = 100
Adım 5 — Toplam Katılımcı Sayısını Bulma
Bulduğumuz x = 100 değeri, 80 kişinin üzerindeki ek kişi sayısıdır.
- Toplam kişi sayısı = 80 + x
- Toplam kişi sayısı = 80 + 100 = 180
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 180 (D Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Maksimum-Minimum Problemleri
- Tanım: Bir niceliğin alabileceği en büyük veya en küçük değeri bulmak için kullanılan matematiksel yöntemdir.
- Bu problemde: Şirketin gelirini en üst düzeye çıkaran katılımcı miktarını bulmak için kullanılmıştır.
2. Fonksiyon Oluşturma
- Tanım: Değişkenler arasındaki ilişkiyi matematiksel bir model haline getirmektir.
- Bu problemde: Katılımcı sayısı arttıkça birim fiyatın düştüğü ters yönlü ilişki modele dökülmüştür.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sadece İndirimi Hesaplamak
- Yanlış: Sadece 140 - 0,5x kısmına odaklanmak.
- Doğru: Gelirin artması için kişi sayısının da denkleme dahil edilmesi (80+x) şarttır.
- Neden Yanlış: Birim fiyat düşse de sürümden kazanılan miktar geliri dengeler.
x Değerini Direkt Cevap Sanmak
- Yanlış: Cevabı 100 olarak işaretlemek.
- Doğru: Soruda toplam katılımcı sayısı sorulmaktadır, bu yüzden 80 eklenmelidir.
- Neden Yanlış: x, 80’in üzerindeki artışı temsil eder, toplamı değil.
Türev kullanmadan, parabolün tepe noktası (r = -b/2a) formülüyle de çözmemi ister misin?