- |x*+3|-|x-3| = |x*+2| denklemini sağlayan x in alabileceği farklı değerier çarpimı kaçtır? A) 2 B) 4 2 C) 8 D) 16 E) 20
14. |x²+3|-|x-3| = |x²+2| denklemini sağlayan x’in alabileceği farklı değerler çarpımı kaçtır?
Önemli Noktalar
- Mutlak değer denklemlerinde ifade içindeki işaret bölgelerine göre ayrı ayrı inceleme yapılır.
- Denklemin sağ ve sol tarafındaki mutlak değer ifadeleri farklı aralıklar için farklı biçimlerde açılır.
- Çözüm sonunda denklemi sağlayan tüm gerçek x değerleri bulunup, bu değerlerin çarpımı hesaplanır.
Denklemdeki mutlak değer ifadelerinin tanımlı olduğu aralıklar belirlenip, kurumluklarına göre çözüm yapılır. Sonuçta bulunan x değerlerinin çarpımı hesaplanır.
İçindekiler
- Deneme Bölgelerini Belirleme ve Mutlak Değer Açılımı
- Bölge Bazlı Denklemin Çözümü
- Çözümlerin Değerlendirilmesi ve Sonuç
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Deneme Bölgelerini Belirleme ve Mutlak Değer Açılımı
Denklem:
|x^2 + 3| - |x - 3| = |x^2 + 2|
- Çünkü x^2 + 3 \geq 0 her x için pozitif veya sıfırdır, o yüzden
|x^2 + 3| = x^2 + 3
- Benzer şekilde x^2 + 2 ifadesi de her zaman pozitiftir, bunun mutlak değeri de aynıdır:
|x^2 + 2| = x^2 + 2
Dolayısıyla denklemi sadeleştirirsek:
x^2 + 3 - |x - 3| = x^2 + 2
Buradaki tek mutlak değer ifadesi |x - 3|'tür.
Bu yüzden denklemi şu hâle getiririz:
x^2 + 3 - |x-3| = x^2 + 2 \implies 3 - |x-3| = 2 \implies |x-3| = 1
2. Bölge Bazlı Denklemin Çözümü
|x-3| = 1
Mutlak değerin tanımı gereği:
x - 3 = 1 \quad \text{veya} \quad x - 3 = -1
Bunlar:
x = 4 \quad \text{ve} \quad x = 2
3. Çözümlerin Değerlendirilmesi ve Sonuç
Yani, denklemi sağlayan x değerleri:
x_1 = 2, \quad x_2 = 4
Bu değerlerin çarpımı:
2 \times 4 = 8
Bu da şıklarda C) 8 seçeneğine denk gelir.
Özet Tablo
| İşlem Adımı | Sonuç |
|---|---|
| ( | x^2+3 |
| Denklem sadeleşir | ( |
| Mutlak değer denklemi | x=4 veya x=2 |
| Çözüm kümesi | \{2,4\} |
| Çarpım sonucu | 8 |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden diğer mutlak değerler açılmadı?
Çünkü x^2+3 ve x^2+2 ifadesi tüm reel sayılar için pozitiftir, yani mutlak değeri bu ifadelerin kendisidir. Sadece |x-3| ifadesinin işaretine göre mutlak değer açılımı gerekir.
2. Mutlak değer denklemi çözümünde nelere dikkat edilmeli?
Öncelikle mutlak değer içindeki ifadelerin işaret aralıkları belirlenir. Sonra her durumda denklemler ayrı ayrı çözülür. Burada pozitiflik koşulları oldukça önemli.
3. Bu çözüm YKS TYT seviyesine uygun mu?
Evet, mutlak değer denklemi çözümünde temel işlem ve kavramları içeren standart bir YKS TYT sorusudur.
Sonraki Adımlar
Benzer mutlak değer ifadeleri içeren karmaşık denklemlerde çözümler nasıl ayrıntılı yapılır, ister misiniz? Yoksa benzer denklemlerden oluşan bir pratik seti hazırlayabilir miyim?
|x² + 3| - |x - 3| = |x² + 2| Denklemini Sağlayan x’in Alabileceği Farklı Değerlerin Çarpımı
Önemli Noktalar
- Denklemdeki x² + 3 ve x² + 2 terimleri her zaman pozitif olduğundan mutlak değerler sadeleşir: |x² + 3| = x² + 3 ve |x² + 2| = x² + 2.
- Denklem |x - 3| = 1’e indirgenir, bu da x = 4 ve x = 2 çözümlerini verir.
- Farklı değerler: 2 ve 4, çarpımları 8 (C şıkkı).
** |x² + 3| - |x - 3| = |x² + 2| ** denklemi, mutlak değerli bir eşitlik olup, reel sayılarda çözümlenir. x² + 3 ≥ 3 > 0 ve x² + 2 ≥ 2 > 0 olduğundan mutlak değerler doğrudan x² + 3 ve x² + 2’ye eşittir. Denklem x² + 3 - |x - 3| = x² + 2’ye sadeleşir; x²’leri kısaltınca 3 - |x - 3| = 2 olur ve |x - 3| = 1 elde edilir. Bu, x = 4 ve x = 2 çözümlerini verir. Farklı değerlerin çarpımı 2 × 4 = 8’dir.
İçindekiler
Denklemin Sadeleştirilmesi
Mutlak değerli denklemlerde, her mutlak değerin tanım kümesini (pozitif/negatif olduğu aralıkları) belirlemek kritik öneme sahiptir. Bu denklemde:
- x² + 3: x² ≥ 0 için her zaman ≥ 3 > 0, yani |x² + 3| = x² + 3 (her reel x için).
- x² + 2: Benzer şekilde ≥ 2 > 0, yani |x² + 2| = x² + 2.
- |x - 3|: Kritik nokta x = 3; x ≥ 3 için x - 3, x < 3 için 3 - x.
Orijinal denklem:
|x^2 + 3| - |x - 3| = |x^2 + 2|
Sadeleştirme:
x^2 + 3 - |x - 3| = x^2 + 2
x²’leri çıkar:
3 - |x - 3| = 2
-|x - 3| = -1
|x - 3| = 1
Pro İpucu: Mutlak değerler her zaman pozitif olduğundan, denklemi sadeleştirirken işaretlere dikkat edin. Bu adımda x² terimlerinin iptal olması, denklemi lineer bir mutlak değere indirger ve çözümü kolaylaştırır.
Çözüm Adımları
Mutlak değer denklemi |x - 3| = 1, iki vaka üretir:
- x - 3 = 1 → x = 4
- x - 3 = -1 → x = 2
Farklı değerler: 2 ve 4. Çarpımları: 2 × 4 = 8.
Adım Adım Hesaplama
- x = 2 için: |4 + 3| - |2 - 3| = |4 + 2| → |7| - | -1 | = |6| → 7 - 1 = 6 (doğru).
- x = 4 için: |16 + 3| - |4 - 3| = |16 + 2| → |19| - |1| = |18| → 19 - 1 = 18 (doğru).
Uyarı: Ekstra çözümler olup olmadığını kontrol edin; burada x² terimleri her zaman pozitif olduğundan başka çözüm yok. Eğer x² + 3 negatif olsaydı (ki imkansız), aralık analizi gerekirdi.
Genel Yaklaşım: Aralıklara Göre Çözüm (Opsiyonel Derinlik)
Mutlak değer için x < 3 ve x ≥ 3 aralıklarını ayırarak çözebilirsiniz, ancak sadeleştirmeden sonra gerek kalmaz:
- x ≥ 3: x² + 3 - (x - 3) = x² + 2 → x² + 3 - x + 3 = x² + 2 → -x + 6 = 2 → -x = -4 → x = 4 (aralıkta).
- x < 3: x² + 3 - (3 - x) = x² + 2 → x² + 3 - 3 + x = x² + 2 → x = 2 (aralıkta).
Aynı sonuçlar elde edilir.
Hızlı Kontrol: Çözümlerin aralıklara uyduğunu doğrulayın; burada her ikisi de uyumlu.
Doğrulama ve Grafik Yorumu
Doğrulama
Her iki çözüm de orijinal denklemi sağlar (yukarıda hesaplandı). Denklem polinomlara indirgenmediğinden, kök bulma algoritmaları (örneğin Newton-Raphson) yerine mutlak değer analizi yeterlidir.
Grafik Yorumu
Sol taraf f(x) = |x² + 3| - |x - 3| (x=3’de köşeli, ama x² baskın), sağ taraf g(x) = |x² + 2| (parabol). Kesişimler x=2 ve x=4’te olur.
Örnek grafik eğrisi (kavramsal):
- x < 0: Sol taraf ≈ x² + 3 - (3 - x) = x² + x, sağ ≈ x² + 2 (kesişim yok).
- x > 3: Sol ≈ x² + 3 - (x - 3) = x² - x + 6, sağ x² + 2 (kesişim x=4).
Gerçek hayatta (YKS TYT seviyesinde), grafik çizmek zaman alıcı; cebirsel çözüm tercih edilir.
Anahtar Nokta: Bu tür denklemlerde, pozitif terimleri erken tanımlamak çözümü hızlandırır. Benzer sorularda x² yerine lineer terimler olsa, daha fazla aralık analizi gerekebilir.
Özet Tablo
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Orijinal Denklem | $$ |
| Sadeleştirme | |
| Çözümler | x = 2, x = 4 |
| Farklı Değer Sayısı | 2 |
| Çarpım | 2 × 4 = 8 |
| Şık | C) 8 |
| Kritik Nokta | x = 3 ( |
| Tanımlama Kümeleri | x² + 3 > 0 ve x² + 2 > 0 (her x için) |
| Hata Kaynağı | Mutlak değerleri unutmak (sadeleştirmede) |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden x² terimleri iptal oldu?
x² + 3 ve x² + 2 her zaman pozitif ve mutlak değerleri kendileri olduğundan, denklemde x²’ler her iki tarafta da aynı katsayıyla yer alır. Bu, denklemi |x - 3| = 1’e indirger ve lineer hale getirir. Eğer katsayılar farklı olsaydı (örneğin 2x²), iptal olmazdı.
2. Başka çözüm var mı, örneğin negatif x’ler için?
Hayır, çünkü |x - 3| = 1 sadece x=2 ve x=4 verir. Negatif x’lerde (örneğin x=-1) sol taraf |1+3| - |-1-3| = 4 - 4 = 0, sağ |1+2|=3 ≠0, kesişim yok.
3. Bu denklem YKS TYT’de nasıl çözülür, zaman tasarrufu için?
Önce pozitif mutlak değerleri tanımlayın (x² + sabit >0 her zaman). Sonra sadeleştirin ve kritik noktaları (x=3) kontrol edin. Grafik yerine cebir tercih edin; 2-3 dakikada biter.
4. Çarpım neden soruluyor, köklerin toplamı değil?
YKS’de köklerin çarpımı, polinom denklemlerde Vieta teoremiyle hızlı hesaplanır. Burada iki kök olduğundan doğrudan çarpım istenir; seçenekler arasında 8 öne çıkar.
5. Benzer bir denklemde |x² - 1| olsa ne değişir?
x² - 1 ≥0 için |x| ≥1 aralığı eklenir. Çözüm aralıklara bölünür (x ≤ -1, -1 < x <1, x ≥1), daha fazla vaka analizi gerekir. Bu denklemde ise yok.
Sonraki Adımlar
Bu denklemi pekiştirmek için benzer bir mutlak değerli denklem çözümü ister misiniz, yoksa YKS TYT için mutlak değer stratejileri üzerine bir rehber hazırlayayım mı?