14.n pozitif tam sayı olmak üzere,
=2+4 +6 t1..+ 2n
+3+5+… + (2n -1)
şeklinde tanımlaniyor.
A+10]-
olduğuna göre, n değeri kaçtır?
A) 8
B) 9
c) 10
(2
le
S gegublo
D) 11
E) 12
Üçgen ve Kare Sembolleriyle Tanımlanan Ardışık Toplam Probleminde n Değerinin Bulunması
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Ardışık Çift Sayıların Toplamı:2 + 4 + 6 + \dots + 2n = n(n+1)
- Ardışık Tek Sayıların Toplamı:1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kare Sembolünün Değerini Hesaplama
Sembol tanımına göre \Box(n) = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2 şeklindedir.
Verilen denklemde kare içerisinde 10 sayısı yer almaktadır (n = 10):
\Box(10) = 10^2 = 100
Adım 2 — Denklemde Yerine Koyarak Üçgen Sembolünü Yalnız Bırakma
Verilen ana eşitlik:
\Delta(n) + \Box(10) = 190
Bulunan \Box(10) = 100 değerini eşitlikte yerine yazalım:
\Delta(n) + 100 = 190
\Delta(n) = 190 - 100 = 90
Adım 3 — n Değerini Bulma
Üçgen sembolünün tanımı \Delta(n) = 2 + 4 + 6 + \dots + 2n = n(n+1) şeklindedir.
Bulduğumuz \Delta(n) = 90 değerini formüle eşitleyelim:
n(n+1) = 90
n pozitif bir tam sayı olduğuna göre, çarpımları 90 eden iki ardışık pozitif tam sayıyı belirleriz:
9 \times 10 = 90
Buradan n = 9 olarak bulunur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ardışık Çift Sayıların Toplamı (\Delta(n))
- Tanım: 2’den başlayarak 2n’e kadar olan n tane pozitif çift sayının toplamı n(n+1) formülüyle hesaplanır.
- Bu problemde: Üçgen sembolü \Delta(n) = n(n+1) = 90 denklemini vermiş ve buradan n = 9 elde edilmiştir.
2. Ardışık Tek Sayıların Toplamı (\Box(n))
- Tanım: 1’den başlayarak (2n-1)'e kadar olan n tane pozitif tek sayının toplamı n^2 formülüyle hesaplanır.
- Bu problemde: Kare sembolü \Box(10) = 10^2 = 100 olarak hesaplanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sembol İçindeki Sayıyı Son Terim Sanmak
- Yanlış: \Box(10) ifadesinde son terimi 10 alıp 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 şeklinde hesaplamak.
- Doğru: Semboldeki n değeri toplamdaki terim sayısıdır. \Box(10) ifadesi 10 tane tek sayının toplamını simgeler ve 10^2 = 100 eder.
- Neden yanlış: Formüldeki son terim (2n-1)'dir. n=10 için son terim 2(10)-1 = 19’dur.
Ardışık sayı toplamları veya tanımlı sembol sorularını pekiştirmek için benzer bir alıştırma sorusu çözmek ister misin?