14 metre yüksekliğindeki binanın çatısında duran Cezmi, çatının A köşesinden 4 metre geride dururken yoldaki otobüsün

HIGH SCHOOL
1

Soru:
14 metre yüksekliğindeki binanın çatısında duran Cezmi, çatının A köşesinden 4 metre geride dururken yoldaki otobüsün arka köşesi olan B noktasını görebilmektedir. Otobüsün yüksekliği 4 metre ve Cezmi’nin göz hizasının çatından yüksekliği 2 metre olduğuna göre, otobüsün binadan uzaklığı x kaç metredir?
A) 12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 24

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli831×800 120 KB

2

14 metre yüksekliğindeki binanın çatısında duran Cezmi, çatının A köşesinden 4 metre geride dururken yoldaki otobüsün arka köşesi olan B noktasını görebilmektedir. Otobüsün yüksekliği 4 metre ve Cezmi’nin göz hizasının çatından yüksekliği 2 metre olduğuna göre, otobüsün binadan uzaklığı x kaç metredir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Benzer üçgenler ve dik üçgenlerde yükseklik ve taban oranları.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Göz hizası yüksekliğini belirle
Bina yüksekliği: 14 m
Cezmi’nin göz hizası çatının 2 m aşağısında olduğu için:
Göz hizası yüksekliği = 14 - 2 = 12 m

Adım 2 — Üçgenleri tanımla

  • Cezmi’nin durduğu nokta, çatının A köşesinden 4 m geride.
  • Otobüsün yüksekliği 4 m.
  • Otobüsün binadan uzaklığı: x m (bulunacak)

Cezmi ile göz hizası noktası yükseklik ve yatay mesafelerde bir üçgen oluşturuyor.
Otobüsün yüksekliği ve binadan uzaklığı diğer üçgeni oluşturuyor.

Adım 3 — Benzer üçgen oranlarını kur
Cezmi’nin göz hizasından (12 m yükseklik) otobüse bakarken çizdiği görüş hattı, otobüsün yüksekliği (4 m) ile benzer oran oluşturur.

Yatay mesafeler:

  • Cezmi’nin çatının A köşesinden 4 m geride olduğu için, binadan göz hizasına olan yatay uzaklık 4 m
  • Otobüsün binadan uzaklığı x

Benzerlik oranı:

\frac{Yükseklik\, farkı}{Yatay\, mesafe} = \frac{12\,m}{4\,m} = \frac{4\,m}{x + 4}

Not: Otobüsün yatay mesafe ifadesinde 4 metre Cezmi’nin durduğu yerle bina arasındaki mesafe ve x metre otobüsün binadan kaç metre uzakta olduğu toplam yatay mesafe olarak alınır.

Adım 4 — Oranı kur ve çöz

\frac{12}{4} = \frac{4}{x + 4}

Bunun sadeleştirilmiş hali:

3 = \frac{4}{x + 4}

Her iki tarafı da x + 4 ile çarparız:

3(x + 4) = 4

Dağıtalım:

3x + 12 = 4

Şimdi x’i çözelim:

3x = 4 - 12 = -8
x = \frac{-8}{3} \approx -2.67

Burada negatif sonuç oldu, bu yanlış. Demek ki yatay oranı yanlış kurduk.

Adım 5 — Yatay mesafeyi doğru belirle
Cezmi, çatının 4 m gerisinde; dolayısıyla, Cezmi ile binanın tabanı arasındaki yatay mesafe 4 m. Otobüs ise bina tabanından x kadar uzak.

Göz hizası ile otobüsün arka köşesi arasındaki yatay mesafe ise x + 4 değil x - 4 olarak alınabilir. Çünkü otobüs bina tabanından x uzaklıkta, Cezmi bina tabanından 4 m geride. Görüş çizgisi yatayda Cezmi’den (4 m geride) otobüsün arka köşesine (x metre) çiziliyor; aradaki yatay mesafe x + 4 mı, yoksa x - 4 mi?
Aslında Cezmi binadan 4 metre geride (çatının arkasında duruyor), otobüs ise binadan x metre ileri. Yatay mesafe Cezmi ile otobüs arasında = x + 4 metre.

Ancak Cezmi’nin göz hizası 12 m, otobüsün yüksekliği 4 m olduğuna göre, üst noktalardan geçen çizgi benzerdir.

Adım 6 — Yükseklik ve yatay mesafe oranı doğru kurulmalı:
Binanın yüksekliğinin (çatının 14 m olması) ve göz hizasının 12 m olması nedeniyle, Cezmi’nin göz hizasından otobüsün üst noktasına çizilen doğru, benzer üçgen oluşturur.

Göz hizası ile bina arasındaki yatay uzaklık: 4 m (Cezmi’nin bina çatısının 4 m gerisinde olması)
Toplam yatay mesafe: x + 4

Fakat aslında üçgenin yüksekliği farkı göz hizası ile otobüs üstü arasındadır:

12 - 4 = 8

Düşey fark 8 metredir.

Yatay uzaklık ise x, çünkü otobüs bina tabanından x m uzaklıktadır; Cezmi göz hizasında bina çatısından 4 m geride aşağıda ama yatay mesafe Cezmi’den otobüse kadar tam x + 4 olmalı.

Doğru oran:

\frac{8}{x} = \frac{12}{4}

Burada iki üçgenin yükseklikleri ve taban mesafeleri oranlanır:

  • Üst üçgenin yüksekliği: 12, taban mesafesi: 4
  • Alt üçgenin yüksekliği: 8, taban mesafesi: x

Oran:

\frac{8}{x} = \frac{12}{4}
\frac{8}{x} = 3

Çapraz çarpma:

8 = 3x
x = \frac{8}{3} \approx 2.67

Yine ufak gibi, bu cevap seçeneklerde yok.

Adım 7 — Farklı bir yaklaşım:

Şekilde Cezmi binanın 4 metre gerisinde, yani çatının A köşesinden 4 metre geridedir. Bu nedenle, yatay mesafe olarak bakarsak:

  • Cezmi çatının 4 m gerisinde, göz yüksekliği 14 - 2 = 12 m
  • Otobüs yüksekliği 4 m, bina tabanından yatay uzaklığı x
  • Cezmi ile otobüs yatay mesafesi: x + 4
  • İki benzer üçgen oluşturur, birinin yüksekliği 12 m (Cezmi’de), dibinde 4 m mesafe,
    diğerinin yüksekliği 4 m (otobüs), dibinde x + 4

Oran:

\frac{12}{4} = \frac{4}{x + 0}

Burada Cezmi binadan 4 m geride, yani göz hizasının binaya yatay uzaklığı 4 m, otobüsün binadan uzaklığı x, otobüs ile Cezmi yatay mesafesi = x + 4.

Formül:

\frac{12}{4} = \frac{4}{x + 4}
3 = \frac{4}{x + 4}
3(x + 4) = 4
3x + 12 = 4
3x = -8
x = -\frac{8}{3}

Yine negatif çıkıyor. Bu tutarsız.

Adım 8 — Görüş hattının yatay uzaklığı formüle dahil edilmesi

Belki de yatay uzaklığı 4 m yerine 4 m yerine 4 - x olarak alınması gerekir.

Alternatif olarak, cevabı grafikle gözden geçirmek lazım.

Adım 9 — Doğru oran aşağıdaki gibi olmalı:

Cezmi 4 metre geride ve göz hizasındaki yükseklik 12 metre, otobüs yüksekliği 4 metre ve otobüs bina tabanından x metre uzaklıkta.

  • Cezmi’nin yatay uzaklığı 4 m (bina çatısından geride)
  • Otobüsün yatay uzaklığı x
  • Yatay mesafe Cezmi ile otobüs arası = x + 4

Üst görünümde göz hizasından geçen doğru ile otobüsün üst noktası arasındaki üçgenler benzerdir.

Bu duruma göre oran kurarsak:

\frac{14}{4 + x} = \frac{12}{4}

Burada 14 m bina yüksekliğinin üst noktası (çatının A köşesi), 12 m Cezmi’nin göz hizası yüksekliği.

Ama Cezmi göz hizasından otobüsün üst noktasına görüş doğruğunu kurmalıyız:

Görüş çizgisinin eğimi:

m = \frac{12 - 4}{4 + x} = \frac{8}{4 + x}

Binanın çatısından Cezmi’nin bulunduğu 4 m noktaya eğim:

m = \frac{14 - 12}{4} = \frac{2}{4} = 0.5

Bu eğimler eşit olmalı (görüş çizgisi aynı).

Eşitle:

\frac{8}{4 + x} = 0.5
8 = 0.5 (4 + x)
8 = 2 + 0.5x
8 - 2 = 0.5x
6 = 0.5x
x = 12

Sonuç: x = 12

:white_check_mark: CEVAP: A) 12

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Benzer Üçgenler

  • İki üçgenin açıları aynıysa, kenar uzunlukları orantılıdır.
  • Bu problemde, görüş hattı ve bina çatısı yüksekliği üçgenlerini kullanarak oran kurduk.

2. Eğim (Oran)

  • Eğimi bulmak için yükseklik farkını yatay mesafeye bölüyoruz.
  • Eğimin eşit olması, görüşün açık olması anlamına gelir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

14 metre yüksekliğindeki binanın çatısında duran Cezmi, çatının A köşesinden 4 metre geride dururken yoldaki otobüsün arka köşesi olan B noktasını görebilmektedir. Otobüsün yüksekliği 4 metre ve Cezmi’nin göz hizasının çatından yüksekliği 2 metre olduğuna göre, otobüsün binadan uzaklığı x kaç metredir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Benzer üçgenler / doğrultu üzerindeki noktalar için eğimlerin eşitliği

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Yükseklikleri belirle
Cezmi’nin göz yüksekliği, bina yüksekliğine göz seviyesinin çatıda ne kadar yüksekte olduğunun eklenmesiyle bulunur.

\text{Göz yüksekliği} = 14 + 2
\text{Göz yüksekliği} = 16

Adım 2 — Eğimi (eğim sabitini) hesapla — Cezmi ile A noktası arası
Cezmi, A noktasının 4 metre gerisinde olduğuna göre yatay fark -4 m olarak alınır (A noktası referans alınır).

m_{EA} = \frac{16 - 14}{-4 - 0}
m_{EA} = \frac{2}{-4}
m_{EA} = -\frac{1}{2}

Adım 3 — Eğimi hesapla — A ile B noktası arası
A noktasının yüksekliği 14 m, otobüsün B noktasının yüksekliği 4 m ve yatay uzaklık x olduğuna göre:

m_{AB} = \frac{14 - 4}{0 - x}
m_{AB} = \frac{10}{-x}
m_{AB} = -\frac{10}{x}

Adım 4 — Eğimin eşitliğinden x’i bul
A, Cezmi ve B doğrusal olduğuna göre eğimler eşittir:

-\frac{1}{2} = -\frac{10}{x}
\frac{1}{2} = \frac{10}{x}
x = \frac{10}{1/2}
x = 10 \times 2
x = 20

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Benzer üçgenler / Eğim
  • Tanım: İki doğru arasındaki oran (eğim) farklı noktalar için sabittir eğer noktalar aynı doğru üzerindeyse.
  • Bu problemde: Cezmi, A ve B noktalarının doğrusal olması nedeniyle, iki bölümün eğimleri birbirine eşit kabul edildi.
  1. Yüksekliklerin doğru toplanması
  • Tanım: Göz yüksekliği binanın yüksekliği + gözün çatının üzerindeki yüksekliğidir.
  • Bu problemde: 14 m + 2 m = 16 m olarak kullanıldı.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Göz yüksekliğini unutmak

  • Yanlış: Cezmi’nin gözünü sadece 14 m olarak almak.
  • Doğru: Göz yüksekliği 14 + 2 = 16 m olmalıdır.
  • Neden yanlış: Göz yüksekliği ihmal edilirse eğim yanlış hesaplanır.
  • Düzeltme: Bina yüksekliğine gözün çatının üzerindeki yüksekliğini ekleyin.

:cross_mark: Yatay mesafeyi yanlış almak

  • Yanlış: Cezmi ile otobüs arası mesafeyi doğrudan x olarak almak.
  • Doğru: Cezmi ile otobüs arasındaki yatay fark, A köşesinden 4 m geride olduğu için x + 4 gibi düşünülürse karışıklık olur; burada doğru yöntem eğim eşitliği ile işaretleri doğru kullanmaktır.
  • Neden yanlış: Referans noktası ve yön (işaret) karışırsa denklem hatalı kurulur.
  • Düzeltme: Referans olarak A noktasını alın ve işaretleri dikkatle takip edin.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

:white_check_mark: CEVAP: D) 20