14 ile x tam sayılarının en küçük ortak katı 126 olduğuna göre x’in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Asal Çarpanlar Yardımıyla EKOK ve Değişken Değerleri Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: İki veya daha fazla sayının en küçük ortak katı (EKOK) bulunurken, sayıların asal çarpanlarına ayrılmış biçiminde ortak olan ve olmayan asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar çarpılır. \text{EKOK}(a, x) = K eşitliğinde, K’nin asal çarpanlarındaki en büyük üsler a veya x’ten gelmek zorundadır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Sayıları Asal Çarpanlarına Ayırma
Verilen 14 sayısını ve bu iki sayının en küçük ortak katı olan 126 sayısını asal çarpanları cinsinden yazalım:
14 = 2^1 \cdot 3^0 \cdot 7^1
126 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 7^1
Adım 2 — x Sayısının Asal Çarpan Üslerini Belirleme
\text{EKOK}(14, x) = 2^{\max(1, a)} \cdot 3^{\max(0, b)} \cdot 7^{\max(1, c)} = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 7^1 eşitliğine göre:
- 3 asal çarpanı: 14’ün çarpanlarında 3 bulunmadığından (3^0), EKOK’taki 3^2 çarpanı kesinlikle x’ten gelmelidir (b = 2).
- 2 asal çarpanı: 14’te 2^1 zaten bulunduğundan, x’te 2^0 veya 2^1 bulunabilir (a \in \{0, 1\}).
- 7 asal çarpanı: 14’te 7^1 zaten bulunduğundan, x’te 7^0 veya 7^1 bulunabilir (c \in \{0, 1\}).
Buna göre x sayısı x = 3^2 \cdot 2^a \cdot 7^c = 9 \cdot 2^a \cdot 7^c formundadır.
Adım 3 — x’in Alabileceği Değerleri ve Toplamını Bulma
a ve c değerlerinin kombinasyonlarına göre x’in alabileceği 4 farklı pozitif değer vardır:
- a = 0,\ c = 0 \implies x = 9 \cdot 1 \cdot 1 = 9
- a = 1,\ c = 0 \implies x = 9 \cdot 2 \cdot 1 = 18
- a = 0,\ c = 1 \implies x = 9 \cdot 1 \cdot 7 = 63
- a = 1,\ c = 1 \implies x = 9 \cdot 2 \cdot 7 = 126
Bu değerlerin toplamı:
9 + 18 + 63 + 126 = 216
CEVAP: 216 (x’in alabileceği değerler toplamı)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: MEB müfredatında EBOB-EKOK konusu pozitif tam sayılar kümesinde tanımlanır. EKOK’ta yer alıp diğer sayıda bulunmayan bir asal çarpan (3^2), aranan sayıda en büyük üssüyle mutlaka yer almak zorundadır. Diğer ortak çarpanlar ise 0 ile en büyük üs arasındaki tüm kuvvetleri alabilir.