14.a, b ve c birer asal sayı olmak üzere,
A =a•b.c
sayısi veriliyor.
A’nın pozitif bölen sayısının alabileceği farklı değerler
toplamı kaçtır?
A) 12
B) 17
c) 26
D) 29
E) 34
A = a \cdot b \cdot c^2 Sayısının Pozitif Bölen Sayısının Alabileceği Farklı Değerler Toplamı
KULLANILAN FORMÜL: Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali N = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot ... \cdot p_k^{e_k} ise, pozitif bölen sayısı (e_1+1) \cdot (e_2+1) \cdot ... \cdot (e_k+1) formülü ile bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Asal Çarpanların Durumlarını Belirleme
Verilen sayı A = a \cdot b \cdot c^2 şeklindedir. a, b ve c birer asal sayıdır. Pozitif bölen sayısını bulmak için a, b ve c asal sayılarının birbirine eşit olup olmama durumlarını incelememiz gerekir.
Durum 1: Tüm Asal Sayılar Farklı İse (a \neq b \neq c ve a,b,c farklı asallar)
Bu durumda A = a^1 \cdot b^1 \cdot c^2 olur. Asal çarpanların üsleri 1, 1 ve 2’dir.
Pozitif bölen sayısı = (1+1) \cdot (1+1) \cdot (2+1) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12.
Durum 2: İki Asal Sayı Eşit İse
-
Alt Durum 2a: a=b (ve a \neq c) ise
A = a \cdot a \cdot c^2 = a^2 \cdot c^2 olur. (Burada a ve c farklı asallardır.)
Pozitif bölen sayısı = (2+1) \cdot (2+1) = 3 \cdot 3 = 9. -
Alt Durum 2b: a=c (ve a \neq b) ise
A = a \cdot b \cdot a^2 = a^3 \cdot b^1 olur. (Burada a ve b farklı asallardır.)
Pozitif bölen sayısı = (3+1) \cdot (1+1) = 4 \cdot 2 = 8. -
Alt Durum 2c: b=c (ve a \neq b) ise
A = a \cdot b \cdot b^2 = a^1 \cdot b^3 olur. (Burada a ve b farklı asallardır.)
Pozitif bölen sayısı = (1+1) \cdot (3+1) = 2 \cdot 4 = 8.
Durum 3: Tüm Asal Sayılar Eşit İse (a=b=c ise)
A = a \cdot a \cdot a^2 = a^4 olur.
Pozitif bölen sayısı = (4+1) = 5.
Adım 3 — Farklı Değerleri ve Toplamlarını Bulma
Pozitif bölen sayısının alabileceği farklı değerler: 12, 9, 8, 5.
Bu değerlerin toplamı = 12 + 9 + 8 + 5 = 34.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 34
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Asal Sayı
- Tanım: 1’den büyük, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan doğal sayılardır (örn: 2, 3, 5, 7, 11…).
- Bu problemde: a, b ve c asal sayılar olarak verildiği için bu özelliklerini kullanarak farklı durumlar oluşturulmuştur.
2. Bir Sayının Pozitif Bölen Sayısı
- Tanım: Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali N = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot ... \cdot p_k^{e_k} ise, pozitif bölen sayısı (e_1+1) \cdot (e_2+1) \cdot ... \cdot (e_k+1) formülü ile hesaplanır.
- Bu problemde: A = a \cdot b \cdot c^2 ifadesindeki a, b, c arasındaki eşitlik durumlarına göre üsler belirlenerek pozitif bölen sayısı hesaplanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Asal Sayıların Eşit Olma Durumunu Gözden Kaçırmak
- Yanlış: Sadece a \neq b \neq c durumunu düşünerek pozitif bölen sayısını sadece 12 bulmak.
- Doğru: Asal çarpanların aynı olabileceği (örn: a=b veya a=c veya a=b=c) durumlarını da incelemek. Bu, farklı pozitif bölen sayılarını ortaya çıkarır.
- Neden yanlış: Problemde a, b, c asal sayı olarak belirtilmiştir, ancak farklı asal sayılar oldukları özellikle belirtilmemiştir. Bu yüzden eşit olma ihtimalleri de göz önünde bulundurulmalıdır.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir practice problem çözmemi ister misin?