- X ve y birer tam sayı olmak üzere; -2<x<7 -5 <ys2 olduğuna göre, 3x-y ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? A) O B) -2 C)4 D) -5 E) -6 D) -5
3x - y İfadesinin Alabileceği En Küçük Tam Sayı Değeri
Önemli Noktalar
- x ve y tam sayı olup -2 < x < 7 ve -5 < y ≤ 2 koşullarını sağlar.
- Olası x değerleri: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
- Olası y değerleri: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.
- 3x - y’yi en küçük (en negatif) yapmak için x’i minimum, y’yi maksimum alın: x = -1, y = 2 → 3(-1) - 2 = -5.
3x - y ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri -5’tir (D şıkkı). Bu, x = -1 (en küçük x) ve y = 2 (en büyük y) ile elde edilir. Diğer kombinasyonlar daha büyük değerler verir; örneğin x = -1, y = 1 → -4, ki bu -5’ten büyüktür.
İçindekiler
Olası x ve y Değerleri
x için: -2 < x < 7, tam sayı → x ∈ {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} (7 değer).
y için: -5 < y ≤ 2, tam sayı → y ∈ {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2} (7 değer).
Toplam 7 × 7 = 49 olası çift. 3x - y lineer olduğundan, ekstremumlar köşelerde aranır.
Pro İpucu: Eşitsizliklerde tam sayı aralığı için “kırpma” kuralı: Alt sınırdan 1 fazla, üstten 1 eksik (açık uçlar için).
Minimum Değeri Bulma Adımları
3x - y’yi minimize etmek için:
- 3x’i küçültün → x’i en küçük seçin: x = -1 → 3x = -3.
- -y’yi küçültün (daha negatif) → y’yi en büyük seçin: y = 2 → -y = -2.
- Hesapla: -3 - 2 = -5.
Doğrulama:
- x = -1, y = 2: -5 (minimum).
- x = 0, y = 2: 0 - 2 = -2 (> -5).
- x = -1, y = 1: -3 - 1 = -4 (> -5).
Matematiksel Yaklaşım:
3x - y \geq 3(-1) - 2 = -5
(Eşitlik sağlanır, dolayısıyla minimum -5.)
Uyarı: Sınırları yanlış okumayın! y ≤ 2 kapalı uç, y = 2 geçerli; x > -2 açık, x = -2 hariç.
Tüm Olası 3x - y Değerleri Tablosu
Minimumu doğrulamak için köşe noktaları:
| x \ y | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| -1 | 1 | 0 | -1 | -2 | -3 | -4 | -5 |
| 0 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 |
| 1 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| 2 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 |
| 3 | 13 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 |
| 4 | 16 | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 |
| 5 | 19 | 18 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 |
| 6 | 22 | 21 | 20 | 19 | 18 | 17 | 16 |
En küçük: -5 (sol alt köşe). En büyük: 22 (sağ üst).
Anahtar Nokta: Tablo, 3x - y’nin artan doğasını gösterir: x ve y arttıkça değer büyür.
Özet Tablo
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Olası x | -1, 0, …, 6 (7 adet) |
| Olası y | -4, -3, …, 2 (7 adet) |
| Hedef | min(3x - y) |
| Optimum x | -1 |
| Optimum y | 2 |
| Minimum değer | -5 (D şıkkı) |
| Diğer şıklar | 0, -2, -4, -6 (yanlış) |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden x = -2 alınamaz?
-2 < x açık eşitsizliktir, x tam sayı olduğundan x ≥ -1. x = -2: 3(-2) - 2 = -8 verir ama koşula uymaz.
2. y = 2 dahil mi?
Evet, y ≤ 2 kapalı uç. y = 3: -5 < 3 ≤ 2 yanlış.
3. -6 nasıl elde edilir?
x = -2, y = 0 ile: 3(-2) - 0 = -6, ama x = -2 geçersiz. Şıklarda tuzak!
4. Bu YKS sorusunda yaygın hata nedir?
Sınırları yanlış yorumlama (x = -2 veya y = 3 almak). Her zaman aralığı listeleyin.
5. Genel kural nedir?
Lineer f(x,y) = ax + by için min: a > 0 ise x min, b < 0 ise y max.
Sonraki Adımlar
Bu soruyu pekiştirmek için benzer bir problem çözelim mi (örneğin max değeri veya farklı katsayılar)? Ya da YKS TYT eşitsizlik soruları checklist’i hazırlayayım mı?
13. soru: x ve y birer tam sayı olmak üzere; -2 < x ≤ 7, -5 < y ≤ 2 olduğuna göre, 3x - y ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Önemli Noktalar
- x tam sayıları: -1, 0, 1, …, 7
- y tam sayıları: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2
- 3x - y ifadesinin en küçük değeri için x en küçük, y en büyük seçilmelidir
- Sonuç: -5
3x - y ifadesinin en küçük tam sayı değeri -5’tir. Buna x = -1 ve y = 2 ikilisiyle ulaşılır; çünkü 3x - y’yi küçültmek için x’in alabileceği en küçük tam sayı ve y’nin alabileceği en büyük tam sayı seçilmelidir. Bu da 3·(-1) - 2 = -5 sonucunu verir.
İçindekiler
Çözüm ve Analiz
- Verilen aralıklardan x için tamsayılar: -1 ≤ x ≤ 7 (aslında -2 < x olduğu için en küçük tam sayı -1).
- y için tamsayılar: -4 ≤ y ≤ 2 (çünkü -5 < y ≤ 2).
- İfade: 3x - y. Minimumu bulmak için 3x kısmını küçültüp -y kısmını küçültmeliyiz; fakat -y küçüklüğü y büyüdükçe ifade küçülür. Yani: x minimum, y maksimum.
- En uygun seçim: x = -1, y = 2 → 3·(-1) - 2 = -3 - 2 = -5.
- Dolayısıyla seçenekler arasında doğru cevap: D) -5.
Alternatif Kontroller
- Eğer x = 0, y = 2 → 3·0 - 2 = -2 (daha büyük).
- Eğer x = -1, y = -4 → 3·(-1) - (-4) = -3 + 4 = 1 (çok daha büyük).
- Eğer x = 7, y = 2 → 21 - 2 = 19 (büyük).
Bu kontroller en küçük değerin gerçekten -5 olduğunu doğrular.
Karşılaştırma Tablosu
| Aspect | Minimum için seçim | Maksimum için seçim |
|---|---|---|
| x | En küçük tam sayı = -1 | En büyük tam sayı = 7 |
| y | En büyük tam sayı = 2 | En küçük tam sayı = -4 |
| 3x - y | En küçük: -5 (x=-1,y=2) | En büyük: 3·7 - (-4) = 25 (x=7,y=-4) |
Özet Tablo
| Element | Detay |
|---|---|
| x kümesi | {-1,0,1,…,7} |
| y kümesi | {-4,-3,-2,-1,0,1,2} |
| Aranan | 3x - y ifadesinin en küçük tam sayı değeri |
| Cevap | -5 (x = -1, y = 2) |
| Doğru şık | D) -5 |
Sık Sorulan Sorular
-
S: Neden x = -1 seçildi, x = -2 olamaz mı?
C: Çünkü verilen koşul -2 < x, yani x = -2 dahil değil; bu nedenle x’in alabileceği en küçük tam sayı -1’dir. -
S: y için neden 2 en büyük seçildi?
C: Koşul y ≤ 2 verildi; ayrıca -5 < y olduğundan y = 2 küme içinde en büyük tamsayıdır. Büyük y, -y terimini daha negatif yaparak ifadeyi küçültür. -
S: Eğer katsayı negatifsaydı (ör. -3x - y) ne yapardık?
C: Katsayı negatif olduğunda ifadenin küçülmesi için o değişkenin en büyük değeri seçilir; her değişkenin etkisini katsayı işaretiyle birlikte değerlendirin.
Sonraki Adımlar
Benzer tamsayı aralıkları için hem minimum hem maksimum bulma pratiği yapmak ister misiniz; 5 adet örnek soru ve çözümleri hazırlayayım mı? @1ozlemozyigit