13.x doğal sayısı için;
12.9*
sayısını tam bölebilen 30 tane pozitif tam say
olduğuna göre, x kaçtır?
-A) 1 B) 3 C) 4 D) 5
E) 7
12 \cdot 9^x sayısının 30 adet pozitif tam sayı böleni olduğuna göre, x kaçtır?
KULLANILAN FORMÜL:
Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için, sayı asal çarpanlarına ayrılır. Eğer bir N sayısı N = a^p \cdot b^q \cdot c^r şeklinde asal çarpanlarına ayrılmışsa, pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı (p+1) \cdot (q+1) \cdot (r+1) formülü ile bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıyı asal çarpanlarına ayırma
Verilen sayı 12 \cdot 9^x’tir. Bu sayıyı asal çarpanlarına ayıralım:
12 = 2^2 \cdot 3^1
9^x = (3^2)^x = 3^{2x}
Şimdi bu ifadeleri birleştirelim:
12 \cdot 9^x = (2^2 \cdot 3^1) \cdot (3^{2x})
12 \cdot 9^x = 2^2 \cdot 3^{1+2x}
Adım 2 — Pozitif bölen sayısını formülle ifade etme
Sayının asal çarpanları 2^2 \cdot 3^{1+2x} şeklindedir. Burada 2’nin üssü 2, 3’ün üssü (1+2x)'tir.
Pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı formülüne göre:
(2+1) \cdot ( (1+2x) + 1 )
= 3 \cdot (1+2x+1)
= 3 \cdot (2+2x)
Adım 3 — x değerini bulma
Soruda pozitif tam sayı bölenlerinin sayısının 30 olduğu verilmiştir. Bu durumda:
3 \cdot (2+2x) = 30
Her iki tarafı 3’e bölelim:
2+2x = \frac{30}{3}
2+2x = 10
2’yi sağ tarafa atalım:
2x = 10 - 2
2x = 8
Her iki tarafı 2’ye bölelim:
x = \frac{8}{2}
x = 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Asal Çarpanlara Ayırma
- Tanım: Bir sayıyı, yalnızca asal sayılardan oluşan çarpanların kuvvetleri şeklinde yazma işlemidir. Örneğin, 12 = 2^2 \cdot 3^1.
- Bu problemde: 12 ve 9^x sayılarını 2^2 \cdot 3^1 ve 3^{2x} şeklinde asal çarpanlarına ayırarak ifadeyi sadeleştirdik.
2. Pozitif Tam Sayı Bölenlerinin Sayısı
- Tanım: Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali a^p \cdot b^q \cdot c^r ise, pozitif bölen sayısı (p+1) \cdot (q+1) \cdot (r+1) formülü ile bulunur.
- Bu problemde: 2^2 \cdot 3^{1+2x} ifadesinin üslerini kullanarak (2+1) \cdot (1+2x+1) şeklinde bölen sayısını hesapladık.
SIK YAPILAN HATALAR:
Asal olmayan çarpanları bırakma
- Yanlış: 12 \cdot 9^x sayısını 2^2 \cdot 3 \cdot 9^x olarak bırakıp üsleri 2, 1, x olarak almak.
- Doğru: Tüm çarpanları asal sayı kuvvetleri şeklinde ifade etmek: 12 = 2^2 \cdot 3^1 ve 9^x = (3^2)^x = 3^{2x}. Böylece sayı 2^2 \cdot 3^{1+2x} olur.
- Neden yanlış: Formül yalnızca sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali için geçerlidir. 9 asal bir sayı değildir.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir uygulama problemi çözmemi ister misin?