Ceren, hem tabanı hem de üssü asal sayı olan bir üslü sayıya çevrilebilen doğal sayıları, tabandaki asal sayı sayısınca mavi daire altta, üstteki asal sayı sayısınca kırmızı daire üstte olacak biçimde mavi ve kırmızı dairelerle göstermektedir.
Örnek; 8 = 2^3 =
9 = 3^2 =
Buna göre
I. 25 ile 32
II. 49 ile 128
III. 125 ile 343
sayı çiftlerinin hangilerinin gösteriminde birindeki kırmızı daire sayısı diğerindeki mavi daire sayısına, birindeki mavi daire sayısı diğerindeki kırmızı daire sayısına eşittir?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve II
Tabanı ve Üssü Asal Sayı Olan Üslü İfadelerin Daire Gösterimi
KULLANILAN KURAL:
Bir N doğal sayısı, a ve b asal sayılar olmak üzere N = a^b şeklinde yazıldığında:
- Mavi daire sayısı (altta): Tabandaki asal sayı (a)
- Kırmızı daire sayısı (üstte): Üstteki asal sayı (b)
Bir sayı çiftinde birinin kırmızı daire sayısının diğerinin mavi daire sayısına, birinin mavi daire sayısının ise diğerinin kırmızı daire sayısına eşit olması için sayıların a^b ve b^a formunda olması (yani taban ve üslerin yer değiştirmesi) gerekir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — I. Öncülü İnceleyelim (25 ile 32)
- 25 = 5^2 (Taban: 5, Üs: 2 \rightarrow Her ikisi de asaldır.)
- Mavi daire sayısı = 5
- Kırmızı daire sayısı = 2
- 32 = 2^5 (Taban: 2, Üs: 5 \rightarrow Her ikisi de asaldır.)
- Mavi daire sayısı = 2
- Kırmızı daire sayısı = 5
- 25’in kırmızı sayısı (2), 32’nin mavi sayısına (2) eşittir.
- 25’in mavi sayısı (5), 32’nin kırmızı sayısına (5) eşittir.
- Sonuç: I. öncül şartı sağlar.
Adım 2 — II. Öncülü İnceleyelim (49 ile 128)
- 49 = 7^2 (Taban: 7, Üs: 2 \rightarrow Her ikisi de asaldır.)
- Mavi daire sayısı = 7
- Kırmızı daire sayısı = 2
- 128 = 2^7 (Taban: 2, Üs: 7 \rightarrow Her ikisi de asaldır.)
- Mavi daire sayısı = 2
- Kırmızı daire sayısı = 7
- 49’un kırmızı sayısı (2), 128’in mavi sayısına (2) eşittir.
- 49’un mavi sayısı (7), 128’in kırmızı sayısına (7) eşittir.
- Sonuç: II. öncül şartı sağlar.
Adım 3 — III. Öncülü İnceleyelim (125 ile 343)
- 125 = 5^3 (Taban: 5, Üs: 3 \rightarrow Her ikisi de asaldır.)
- Mavi daire sayısı = 5
- Kırmızı daire sayısı = 3
- 343 = 7^3 (Taban: 7, Üs: 3 \rightarrow Her ikisi de asaldır.)
- Mavi daire sayısı = 7
- Kırmızı daire sayısı = 3
- 125’in mavi sayısı (5), 343’ün kırmızı sayısına (3) eşit değildir (5 \neq 3).
- Sonuç: III. öncül şartı sağlamaz.
Adım 4 — Seçenek Karşılaştırması
A) Yalnız I — II. öncül de doğru olduğu için yetersizdir.- B) Yalnız II — I. öncül de doğru olduğu için yetersizdir.
C) I ve II — Her iki öncül de verilen kuralı tam olarak sağlar.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) I ve II
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Asal Sayı
- Tanım: Yalnızca 1’e ve kendisine kalansız bölünebilen 1’den büyük doğal sayılardır (2, 3, 5, 7, 11, \dots).
- Bu problemde: Taban ve üs değerlerinin (2, 3, 5, 7) asal olma zorunluluğu kullanılmıştır.
2. Üslü İfade Dönüşümü
- Tanım: Bir sayının kendisi ile tekrarlı çarpımının a^b şeklinde gösterilmesidir.
- Bu problemde: 25=5^2, 32=2^5, 49=7^2, 128=2^7, 125=5^3, 343=7^3 eşitlikleri kullanılarak daire sayıları tespit edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Daire Renklerinin Temsil Ettiği Değerleri Karıştırmak
- Yanlış: Alttaki mavi daireyi üs, üstteki kırmızı daireyi taban olarak almak.
- Doğru: Sorudaki tanıma göre alttaki mavi daire tabanı, üstteki kırmızı daire üssü temsil eder.
- Neden yanlış: Ters eşleme yapıldığında daire sayıları yer değiştirir ve özellikle farklı üslü kuvvetlerde yanlış sonuca ulaşılabilir.
Bu soru tipini pekiştirmek için benzer bir yeni nesil üslü sayı sorusu daha çözmemi ister misin?