120 kg pirinç ve bulgur eşit kütleli, maksimum 20 kg’lık paketlere konulmuştur. Başlangıçtaki bulgur kütlesi hangi seçenek olabilir?

Maths Question
1

Soru:
120 kg pirinç ve kütlesi kilogram cinsinden tam sayı olan bir miktar bulgur birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit kütleli paketlere konulmuştur.

Kullanılan paketlerin kütlesi en fazla 20 kg olduğuna göre başlangıçtaki bulgurun kütlesi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 156 KB

2

120 kg pirinç ve bulgur eşit kütleli, maksimum 20 kg’lık paketlere konulmuştur. Başlangıçtaki bulgur kütlesi hangi seçenek olabilir?

:brain: Çözüm Adımları:

Adım 1 — Paketlerin kütlesi eşit ve en fazla 20 kg olabilir
Paketlerin kütlesi, pirinç ve bulgur kütlelerinin ortak böleni (b), yani her iki kütleyi tam bölmeli, ayrıca b ≤ 20 olmalıdır.

Adım 2 — Pirinç kütlesinin bölenlerini bulma
Pirincin kütlesi 120 kg, ortak bölenler 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120’dir.

Adım 3 — Bulguru bulma ve ölçütlere göre test etme
Başlangıçta bulgurun kütlesi (B) tam sayı ve 120 ile aynı ortak böleni paylaşmalı. Bu nedenle 120 ve B’nin ortak böleni b olmalıdır; b aynı zamanda paketlerin kütlesidir.

  • Paket kütlesi = b ≤ 20
  • 120 % b = 0 ve B % b = 0
  • Toplam kütle = 120 + B, paketlerin sayısı = (120 + B)/b integer olmalı.

Seçenekleri inceleyelim:

Seçenek Toplam Kütle (120 + B) Ortak Bölen (b = GCD(120, B)) b ≤ 20 mi?
A) 80 200 GCD(120, 80) = 40 Hayır
B) 120 240 GCD(120, 120) = 120 Hayır
C) 140 260 GCD(120, 140) = 20 Evet
D) 180 300 GCD(120, 180) = 60 Hayır

Sadece C seçeneğinde ortak bölen 20, yani paketlerin kütlesi 20 kg olur
(20 kg ≤ 20 kg koşulunu sağlar).

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: Cevap: C) 140
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: Önemli Kavramlar:

  • Ortak bölen (Greatest Common Divisor - GCD): İki sayıyı tam bölen en büyük sayı.
  • Eşit kütleli paketler: Toplam kütle ortak bölen büyüklüğünde parçalara ayrılır.
  • Paketlerin maksimum ağırlığı: Paket kütlesi en fazla belirtilen değerden fazla olamaz.

:warning: Yaygın Hata:

  • Paket kütlesinin toplam kütleyi tam bölmesi gerektiğini unutmak.
  • Paket kütlesi 20’den büyük olamaz, bu yüzden GCD kontrolü yapılmalıdır.

Başka soru ya da açıklama istersen çekinmeden sorabilirsin! :rocket:

3

kısa işlem yap

4

120 kg pirinç ve bulgur eşit kütleli paketlere konulmuştur. Başlangıçtaki bulgur kütlesi nedir?

:brain: Kısa Çözüm:

  • Paket kütlesi, 120 ile bulgurun ortak böleni ve en fazla 20 kg olmalı.
  • 120’nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, …
  • Seçeneklerde bulgur kütlesi ile 120’nin GCD’si 20’den fazla olamaz.
  • Seçenekleri karşılaştıralım:
Seçenek GCD(120, Bulgur) Paket Kütlesi ≤ 20?
80 40 Hayır
120 120 Hayır
140 20 Evet
180 60 Hayır

Sadece 140 kg bulgur paket kütlesinin maksimum 20 olma koşulunu sağlar.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: Cevap: C) 140
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

5

120 kg pirinç ve kütlesi kilogram cinsinden tam sayı olan bir miktar bulgur birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit kütleli paketlere konulmuştur. Kullanılan paketlerin kütlesi en fazla 20 kg olduğuna göre başlangıçtaki bulgurun kütlesi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Eşit kütleli paketlerin kütlesi, hem 120 hem de bulgur miktarının ortak böleni olmalıdır; bu nedenle kullanılan paket kütlesi gcd(120, bulgur) değeridir ve bu değer en fazla 20 kg olmalıdır.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — A (80 kg) seçeneğini incele

\gcd(120,80)
120 = 80 \cdot 1 + 40
80 = 40 \cdot 2 + 0
\gcd(120,80) = 40

Adım 2 — B (120 kg) seçeneğini incele

\gcd(120,120)
120 = 120 \cdot 1 + 0
\gcd(120,120) = 120

Adım 3 — C (140 kg) seçeneğini incele

\gcd(120,140)
140 = 120 \cdot 1 + 20
120 = 20 \cdot 6 + 0
\gcd(120,140) = 20

Adım 4 — D (180 kg) seçeneğini incele

\gcd(120,180)
180 = 120 \cdot 1 + 60
120 = 60 \cdot 2 + 0
\gcd(120,180) = 60

Adım 5 — Değerlendirme

A. 80 kg — YANLIŞ: ortak bölen 40 kg > 20 kg, paketler en fazla 20 kg olamaz.

B. 120 kg — YANLIŞ: ortak bölen 120 kg > 20 kg, paketler en fazla 20 kg olamaz.

C. 140 kg — DOĞRU: ortak bölen 20 kg ≤ 20 kg, kullanılabilecek paket kütlesi 20 kg olur.

D. 180 kg — YANLIŞ: ortak bölen 60 kg > 20 kg, paketler en fazla 20 kg olamaz.

CEVAP: 140 kg (C)

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. EBOB (gcd)
  • Tanım: İki tam sayının en büyük ortak böleni.
  • Bu problemde: Paket kütlesi, her iki miktarı da tam bölen en büyük olası değerdir.
  1. Öklid Algoritması
  • Tanım: İki sayının EBOB’unu bulmak için kullanılan yöntem.
  • Bu problemde: EBOB hesaplamaları bu yöntemle yapıldı (bölme ve kalan işlemleri).

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: 1 kg varsayma hatası

  • Yanlış: Her durumda paket kütlesi 1 kg olabileceğini düşünmek.
  • Doğru: Paket kütlesi herhangi bir ortak bölen olabilir ancak soruda paketlerin kütlesi en fazla 20 kg diye sınırlandığı için en büyük ortak bölenin bu sınırı aşmaması gerekir.
  • Neden yanlış: Soru, paket kütlesinin en fazla 20 kg olduğunu vurgular; daha büyük ortak bölenler kullanılamaz.
  • Düzeltme: Ortak böleni hesaplayıp 20 ile karşılaştırın.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?