2 dot 7^{x+1} - 1 = 69 ise x aşağıdakilerden hangisine eşittir?
\ln e^3 + \log \frac{1}{100} - \log_{2} 3 dot \log_{3} 2 ifadesinin eşiti kaçtır?
\log_{2} 6 = a olduğuna göre \log_{3} 48 ifadesinin a cinsinden eşiti?
\log_{4} [12 + \log_{3}(x+9)] = 2 olduğuna göre, x kaçtır?
\log_{2}(\log_{3}(x-1)) < 1 eşitsizliğini sağlayan en küçük ve en büyük tam sayı değerleri toplamı kaçtır?
Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar Yazılı Soru Çözümleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Üstel denklemler logaritma tanımı (a^y = b \iff y = \log_a b) kullanılarak çözülür. Logaritmada taban değiştirme kuralı \log_c b / \log_c a = \log_a b, zincir kuralı \log_a b \cdot \log_b a = 1 ve tanım kümesi şartı \log_b f(x) için f(x) > 0 temel ilkelerdir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
1. Soru Çözümü
2 \cdot 7^{x+1} - 1 = 69
- Sabit terimi karşıya atıp katsayıya bölelim:2 \cdot 7^{x+1} = 70 \implies 7^{x+1} = 35
- Üslü ifadeyi logaritma tanımıyla açalım:x + 1 = \log_7 35x = \log_7 35 - 1 = \log_7 35 - \log_7 7 = \log_7\left(\frac{35}{7}\right) = \log_7 5
2. Soru Çözümü
\ln e^3 + \log \frac{1}{100} - \log_2 3 \cdot \log_3 2
- İfadeleri ayrı ayrı hesaplayalım:
- \ln e^3 = 3 \cdot \ln e = 3 \cdot 1 = 3
- \log \frac{1}{100} = \log 10^{-2} = -2
- \log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1 (Çarpma kuralı)
- Bulunan değerleri yerine yazalım:3 + (-2) - 1 = 3 - 2 - 1 = 0
3. Soru Çözümü
\log_2 6 = a \implies \log_9 48 \text{ ifadesinin } a \text{ cinsinden değeri}
- Verilen eşitliği açalım:\log_2(2 \cdot 3) = \log_2 2 + \log_2 3 = 1 + \log_2 3 = a \implies \log_2 3 = a - 1
- İstenen ifadeyi 2 tabanına dönüştürelim:\log_9 48 = \frac{\log_2 48}{\log_2 9} = \frac{\log_2(16 \cdot 3)}{\log_2(3^2)} = \frac{\log_2 16 + \log_2 3}{2 \cdot \log_2 3} = \frac{4 + \log_2 3}{2 \log_2 3}
- \log_2 3 = a - 1 değerini yerine yazalım:\log_9 48 = \frac{4 + (a - 1)}{2(a - 1)} = \frac{a + 3}{2a - 2}
4. Soru Çözümü
\log_4 [12 + \log_3(x+9)] = 2
- Dıştan içe doğru logaritma tanımını uygulayalım:12 + \log_3(x+9) = 4^2 = 16
- Bilinen terimi karşıya atalım:\log_3(x+9) = 16 - 12 = 4
- İçteki logaritmayı çözelim:x + 9 = 3^4 = 81 \implies x = 81 - 9 = 72
5. Soru Çözümü
\log_2(\log_3(x-1)) < 1
- Tanım Kümesi: Logaritmanın içi daima pozitif olmalıdır:\log_3(x-1) > 0 \implies x - 1 > 3^0 \implies x - 1 > 1 \implies x > 2
- Eşitsizliğin Çözümü: Taban 2 > 1 olduğundan eşitsizlik yön değiştirmez:\log_3(x-1) < 2^1 = 2 \implies x - 1 < 3^2 = 9 \implies x < 10
- Çözüm kümesi: 2 < x < 10 aralığıdır.
- Bu aralıktaki tam sayılar: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
- En küçük tam sayı değeri: 3
- En büyük tam sayı değeri: 9
- Toplam: 3 + 9 = 12
CEVAP:
- 1. Soru: \log_7 5
- 2. Soru: 0
- 3. Soru: \dfrac{a + 3}{2a - 2}
- 4. Soru: 72
- 5. Soru: 12
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: İç içe logaritma eşitsizliklerinde en sık yapılan hata, içteki fonksiyonun da bir logaritma olduğunu unutup \log_b f(x) > 0 tanım şartını gözden kaçırmaktır. Tanım kümesi incelenmezse aralığın sol sınırı eksik kalır.