12.K sayısı iki asalın çarpimı biçiminde yazılan bir sayı olup • 22-K sayısınin üç asal böleni Buna göre, iki basamaklı

[Oguzhan_Elkan (Oğuzhan Elkan)]

12.K sayısı iki asalın çarpimı biçiminde yazılan bir sayı olup
• 22-K sayısınin üç asal böleni
vardır.
Buna göre, iki basamaklı K sayısının alacağı değerler
toplamı kaçtır?
A) 88
B) 98
c) 142
D) 148
E) 162

[Egitim_Danismani (Sorumatik Eğitim Danışmanı)]

İki Basamaklı K Sayısının Değerleri Toplamı

KULLANILAN FORMÜL VE İLKELER:

• Bir sayının asal çarpanlarına ayrılması: N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \dots \cdot p_n^{a_n}
• Bir sayının asal bölenlerinin sayısı, asal çarpanlara ayrılmış haldeki farklı asal sayıların sayısıdır.
• İki asalın çarpımı biçiminde yazılan bir sayı: p \cdot q (p ve q asal sayılar)

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilenleri ve K’nın Yapısını İnceleme
K sayısı iki basamaklıdır.
K = p \cdot q biçimindedir, burada p ve q asal sayılardır.

Adım 2 — İlk Koşulu Analiz Etme: 12 \cdot K sayısının iki asal çarpanı vardır.
12 = 2^2 \cdot 3.
12 \cdot K = 2^2 \cdot 3 \cdot p \cdot q.
Bu sayının iki asal böleni olması için, p ve q asal sayılarının 2 ve 3’ten başka asal çarpan içermemesi gerekir.
Yani p ve q mutlaka 2 ve 3 olmalıdır.

Durum 1: p=2, q=3 (veya p=3, q=2)
Bu durumda K = 2 \cdot 3 = 6 olur. Ancak K’nın iki basamaklı olması gerektiği belirtilmiştir, bu nedenle K=6 olamaz.

Durum 2: p=2, q=2
Bu durumda K = 2 \cdot 2 = 4 olur. K iki basamaklı değildir.

Durum 3: p=3, q=3
Bu durumda K = 3 \cdot 3 = 9 olur. K iki basamaklı değildir.

İlk koşulda problemde bir yazım hatası olup olmadığını kontrol edelim. Orijinal resimde “12 \cdot K sayısı iki asalın çarpımı biçiminde yazılan bir sayı olup” ifadesi yerine “12 \cdot K sayısının iki asal çarpanı vardır” ifadesi olmalıydı. Eğer öyle olsaydı, yukarıdaki durumlar geçerli olurdu. Ancak verilen metin ve resimdeki ilk cümle “12 \cdot K sayısı iki asalın çarpımı biçiminde yazılan bir sayı olup…” şeklinde. Bu ifade, 12 \cdot K’nın kendisinin bir asal çarpımı olduğunu belirtir.

Eğer 12 \cdot K = A \cdot B (A, B asal) ise, 12 \cdot K sayısının sadece iki asal böleni olmalıdır.
12 \cdot K = 2^2 \cdot 3 \cdot K.
12 \cdot K sayısının sadece iki asal böleni olması için, K’nın çarpanlarının sadece 2 ve 3 olması gerekir.
K = 2^a \cdot 3^b şeklinde olmalıdır.
Ancak K sayısı da iki asalın çarpımı (p \cdot q) biçiminde yazılabilen bir sayıydı.
Bu çelişkiyi çözmek için, genellikle bu tür sorularda ilk cümlenin “12 \cdot K sayısının iki asal böleni vardır” şeklinde olduğu varsayılır. Bu problem metnindeki yazım hatasını göz önünde bulundurarak, genellikle “12 \cdot K sayısının iki asal böleni vardır” koşulunun kastedildiğini varsayalım.

Eğer 12 \cdot K sayısının asal bölenleri sadece 2 ve 3 ise:
K = 2^a \cdot 3^b şeklinde olmalıdır.
Ayrıca, K kendisi iki asalın çarpımı şeklindedir (p \cdot q).
Olası K değerleri (p, q farklı asal ise):

• K = 2 \cdot 3 = 6 (iki basamaklı değil)
• K = 2 \cdot 2 = 4 (iki basamaklı değil)
• K = 3 \cdot 3 = 9 (iki basamaklı değil)

Bu, sorudaki ilk cümlenin hatalı yazıldığını ve aslında “12.K sayısının üç asal böleni vardır” veya “12.K sayısının asal bölenlerinin sayısı 2’dir” gibi bir ifade olması gerektiğini düşündürüyor. Ancak, kullanıcının gönderdiği orijinal resimde de açıkça “12.K sayısı iki asalın çarpımı biçiminde yazılan bir sayı olup” yazmaktadır.

Soruyu, orijinal resimdeki gibi “12.K sayısı iki asalın çarpımı biçiminde yazılan bir sayı olup” ve “22.K sayısının üç asal böleni” ve “28.K sayısının dört asal böleni” şeklinde ele alalım.

Düzeltilmiş Adım 2 — İlk Koşulu Analiz Etme: 12 \cdot K sayısı iki asalın çarpımı şeklindedir.
K iki basamaklı bir sayı ve K = p \cdot q (p, q asal).
12 \cdot K = 2^2 \cdot 3 \cdot p \cdot q.
Bu sayının kendisi de iki asalın çarpımı şeklinde olmalı. Yani 12 \cdot K = A \cdot B (A, B asal).
Bu ancak A ve B sayılarından biri 12’nin asal çarpanlarını içeriyorsa ve K da geri kalanını tamamlıyorsa mümkündür.
Bu ifade, 12 \cdot K’nın sadece 2 farklı asal çarpanı olması gerektiği anlamına gelir.
12 \cdot K = 2^2 \cdot 3 \cdot K. Asal çarpanları 2 ve 3 ise, K sadece 2 ve 3 çarpanlarını içermeli.
K = 2^a \cdot 3^b ve K = p \cdot q.
Olası K değerleri (iki basamaklı olmalı):

• K = 2^4 = 16 (p=2, q=8 değil, p=2, q=2^3 olmalı. iki asalın çarpımı şeklinde değil. Sadece 2 asalının kuvveti.)
• K = 2^2 \cdot 3 = 12 (p=2, q=6 değil, p=2, q=3 asalları farklıysa 2 \cdot 3 = 6. Eğer K = 2 \cdot 2 \cdot 3 olsaydı p \cdot q şeklinde olmazdı.)
• K = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 (üç asalın çarpımı)
• K=p \cdot q biçiminde ve K’nın asal çarpanları sadece 2 ve 3 olacaksa K = 2 \cdot 2 = 4, K = 2 \cdot 3 = 6, K = 3 \cdot 3 = 9. Bunlar iki basamaklı değildir.

Burada büyük ihtimalle soruda bir yazım hatası var ve ilk koşul “12.K sayısının iki asal böleni vardır” şeklinde olmalıydı. Bu varsayım üzerinden devam edelim, çünkü aksi takdirde ilk koşul K’nın iki basamaklı olmasını imkansız kılıyor gibi görünüyor.
Bu durumda, 12 \cdot K = 2^2 \cdot 3 \cdot K. Bu sayının asal bölenleri sadece 2 ve 3 olmalıdır.
Bu, K’nın asal çarpanlarının yalnızca 2 ve 3 olması gerektiği anlamına gelir.
Yani K = 2^x \cdot 3^y şeklinde olmalıdır.
Ayrıca, K kendisi p \cdot q şeklinde bir sayıdır (p ve q asal).
O zaman K için olası iki basamaklı değerler (p, q farklı veya aynı olabilir):

• p=2, q=5 \implies K=10 (12K’nın asal bölenleri 2, 3, 5 olur, 2 tane değil)
• p=2, q=7 \implies K=14 (12K’nın asal bölenleri 2, 3, 7 olur, 2 tane değil)
• p=3, q=5 \implies K=15 (12K’nın asal bölenleri 2, 3, 5 olur, 2 tane değil)

Bu durumda ilk koşul “12 \cdot K sayısının iki asal böleni vardır” cümlesi K’nın asal çarpanlarının sadece 2 ve 3 olması gerektiğini ifade eder.
Yani K = 2^a \cdot 3^b formunda olmalıdır.
Ayrıca K bir p \cdot q çarpımıdır.
Olası iki basamaklı K değerleri:

• K=2 \cdot 2^x şeklinde: 2 \cdot 2^3 = 2^4 = 16 (iki asalın çarpımı değil, 2 \cdot 8 ve 8 asal değil)
• K = 2 \cdot 3^x şeklinde: 2 \cdot 3^2 = 18 (p=2, q=3 değil, p=2, q=9 değil. K=2 \cdot 3 \cdot 3. İki asalın çarpımı denince genellikle farklı asallar kastedilir, ancak bazen aynı asalın tekrarı da olabilir. Eğer p,q aynı olabilirse, 3^2=9 iki basamaklı değil. Eğer K=p \cdot q ise 18=2 \cdot 9 veya 3 \cdot 6 şeklinde olur ki bu 9 ve 6 asal değil.)

Bu sorunun metninde ciddi bir yazım hatası var gibi görünüyor. Kullanıcının gönderdiği resimdeki metinle, yazılı metin biraz farklı.
Yazılı metinde: “12.K sayısı iki asalın çarpımı biçiminde yazılan bir sayı olup • 22-K sayısının üç asal böleni vardır.”
Resimde: “12.K sayısı iki asalın çarpımı biçiminde yazılan bir sayı olup • 22.K sayısının üç asal böleni • 28.K sayısının dört asal böleni vardır.”

Resimdeki koşullara göre çözmeye çalışalım:

Adım 1 — Verilenleri ve K’nın Yapısını İnceleme

• K iki basamaklı bir sayıdır.
• K = p \cdot q (p, q asal sayılar. p ve q farklı veya aynı olabilir).

Adım 2 — İlk Koşulu Analiz Etme: 12 \cdot K sayısı iki asalın çarpımı biçimindedir.
12 \cdot K = 2^2 \cdot 3 \cdot K.
Bu sayının kendisi A \cdot B (A, B asal) biçiminde olmalıdır.
Bu, 12 \cdot K’nın sadece iki farklı asal çarpanı olduğu anlamına gelir. Asal çarpanları P_1, P_2 olsun.
2^2 \cdot 3 \cdot K ifadesinin asal çarpanlarının sadece P_1 ve P_2 olması için, K’nın asal çarpanları da sadece P_1 ve P_2 olmalıdır. P_1, P_2 kesinlikle 2 ve 3’ü içermelidir.
Yani K’nın asal çarpanları da sadece 2 ve 3’tür.
K = 2^a \cdot 3^b şeklinde olmalıdır.
Aynı zamanda K = p \cdot q şeklinde de olmalı.
Olası iki basamaklı K değerleri:

• p=2, q=2 \implies K=4 (iki basamaklı değil)
• p=2, q=3 \implies K=6 (iki basamaklı değil)
• p=3, q=3 \implies K=9 (iki basamaklı değil)
• K = 2^a \cdot 3^b şeklinde, p \cdot q olabilecek iki basamaklı sayılar:
  • K = 2 \cdot 5 = 10 (asal çarpanları 2, 5. 12K’nın çarpanları 2, 3, 5 olur, 3 tane)
  • K = 2 \cdot 7 = 14 (asal çarpanları 2, 7. 12K’nın çarpanları 2, 3, 7 olur, 3 tane)
  • K = 3 \cdot 5 = 15 (asal çarpanları 3, 5. 12K’nın çarpanları 2, 3, 5 olur, 3 tane)
  • K = 2 \cdot 11 = 22 (asal çarpanları 2, 11. 12K’nın çarpanları 2, 3, 11 olur, 3 tane)
  • K = 2 \cdot 13 = 26 (asal çarpanları 2, 13. 12K’nın çarpanları 2, 3, 13 olur, 3 tane)
  • …
    Bu durumda, ilk koşulun anlamını “12K sayısının asal bölenleri 2 ve 3’tür” olarak kabul etmek zorundayız. Aksi takdirde, K=p \cdot q koşuluyla çelişiyor.
    Öyleyse K sayısı sadece 2 ve 3 asal çarpanlarını içermelidir. Yani K=2^a \cdot 3^b.
    Ayrıca K=p \cdot q.
    Olası iki basamaklı K değerleri:
• K=2^2 \cdot 3 = 12. (asal çarpanları 2, 3. İki asalın çarpımı olarak 2 \cdot (2 \cdot 3) = 2 \cdot 6 veya 3 \cdot (2 \cdot 2) = 3 \cdot 4. Bu p \cdot q tanımına uygun değil, çünkü 4 ve 6 asal değil.)
• K=2 \cdot 3^2 = 18. (asal çarpanları 2, 3. 2 \cdot (3 \cdot 3) = 2 \cdot 9 veya 3 \cdot (2 \cdot 3) = 3 \cdot 6. Bu da uygun değil.)
• K=2^3 \cdot 3 = 24. (uygun değil)
• K=2^4 = 16. (iki asalın çarpımı değil, 2^4 sadece bir asalın kuvveti)
• K=3^4 = 81. (sadece bir asalın kuvveti)
• K=2^5 = 32. (sadece bir asalın kuvveti)
• K=2^6 = 64. (sadece bir asalın kuvveti)

İlk koşul “12.K sayısı iki asalın çarpımı biçiminde yazılan bir sayı olup” cümlesi muhtemelen K’nın asal çarpanlarının 2 ve 3 haricinde olmaması gerektiği anlamına geliyor. Ancak K=p \cdot q da sağlanmalı.
Bu durumda, K’nın kendisi p \cdot q şeklinde olup, p, q asalları 2 ve 3 olmalıdır.
Ama K=2 \cdot 2 = 4, K=2 \cdot 3 = 6, K=3 \cdot 3 = 9 hep tek basamaklı.
Bu durumda, ilk koşulun hatalı yazıldığını ve aslında “12K sayısının iki adet asal böleni vardır” şeklinde yorumlamamız gerekiyor. Bu yaygın bir problem tipi.

Varsayım: İlk koşul “12.K sayısının asal bölenlerinin sayısı 2’dir.” şeklinde düzeltilmiştir.
12 \cdot K = 2^2 \cdot 3 \cdot K.
Bu sayının asal bölenleri sadece 2 ve 3 olmalıdır.
Bu durumda K’nın asal çarpanları da sadece 2 ve 3 olabilir.
Yani K = 2^a \cdot 3^b biçimindedir.
Ayrıca K iki basamaklı bir sayı ve K = p \cdot q (p, q asal).

Bu iki koşulu sağlayan iki basamaklı K sayıları:

• K = 2^a \cdot 3^b ve K=p \cdot q
• K = 2^2 \cdot 3^1 = 12. (12 = 2 \cdot 6, 6 asal değil. 12 = 3 \cdot 4, 4 asal değil. Eğer p=q olabilirse 12 iki asalın çarpımı değildir.)
• K = 2^1 \cdot 3^2 = 18. (18 = 2 \cdot 9, 9 asal değil. 18 = 3 \cdot 6, 6 asal değil.)
• K = 2^3 \cdot 3^1 = 24. (uygun değil)
• K = 2^4 = 16. (sadece bir asalın kuvveti, p \cdot q şeklinde değil.)
• K = 3^3 = 27. (sadece bir asalın kuvveti, p \cdot q şeklinde değil.)
• K = 2^5 = 32. (sadece bir asalın kuvveti, p \cdot q şeklinde değil.)
• K = 2^2 \cdot 3^2 = 36. (uygun değil)
• K = 2 \cdot 3^3 = 54. (uygun değil)
• K = 2^3 \cdot 3^2 = 72. (uygun değil)
• K = 2^4 \cdot 3 = 48. (uygun değil)
• K = 2^5 \cdot 3 = 96. (uygun değil)

Bu varsayım ile de K bulunamadı. Bu nedenle, ilk cümlenin “12.K sayısı iki asalın çarpımı biçiminde yazılan bir sayı olup” kısmı sadece K’nın tanımını veriyor, 12K’ya ait bir koşul değil. Bu yüzden, resimdeki iki madde işaretli koşullara odaklanalım.

Adım 3 — İkinci Koşulu Analiz Etme: 22 \cdot K sayısının üç asal böleni vardır.
22 \cdot K = 2 \cdot 11 \cdot K.
K = p \cdot q ve K iki basamaklı.
2 \cdot 11 \cdot p \cdot q sayısının üç asal böleni olması için:

• p ve q asalları 2 ve 11 olmalıdır (aynı veya farklı).
  • Eğer p=2, q=11 \implies K=2 \cdot 11 = 22. (İki basamaklı, p \cdot q şeklinde)
    Bu durumda 22 \cdot K = 2 \cdot 11 \cdot (2 \cdot 11) = 2^2 \cdot 11^2. Asal bölenleri 2, 11 (2 tane). Bu koşulu sağlamaz.
• Eğer p ve q asalları 2, 11 ve başka bir asal r olmalıdır. Bu durum K’nın yapısına ters.
• Yani p ve q asallarından biri 2, diğeri 11’den farklı bir asal olmalıdır.
  • K = 2 \cdot r, r \neq 2, 11. 22K = 2 \cdot 11 \cdot 2 \cdot r = 2^2 \cdot 11 \cdot r. Asal bölenleri 2, 11, r (3 tane). Bu koşulu sağlar.
    Olası K=2 \cdot r değerleri (r asal, r \neq 2, 11, K iki basamaklı):
    • r=3 \implies K=2 \cdot 3 = 6 (iki basamaklı değil)
    • r=5 \implies K=2 \cdot 5 = 10
    • r=7 \implies K=2 \cdot 7 = 14
    • r=13 \implies K=2 \cdot 13 = 26
    • r=17 \implies K=2 \cdot 17 = 34
    • r=19 \implies K=2 \cdot 19 = 38
    • r=23 \implies K=2 \cdot 23 = 46
    • r=29 \implies K=2 \cdot 29 = 58
    • r=31 \implies K=2 \cdot 31 = 62
    • r=37 \implies K=2 \cdot 37 = 74
    • r=41 \implies K=2 \cdot 41 = 82
    • r=43 \implies K=2 \cdot 43 = 86
    • r=47 \implies K=2 \cdot 47 = 94
  • K = 11 \cdot r, r \neq 2, 11. 22K = 2 \cdot 11 \cdot 11 \cdot r = 2 \cdot 11^2 \cdot r. Asal bölenleri 2, 11, r (3 tane). Bu koşulu sağlar.
    Olası K=11 \cdot r değerleri (r asal, r \neq 2, 11, K iki basamaklı):
    • r=3 \implies K=11 \cdot 3 = 33
    • r=5 \implies K=11 \cdot 5 = 55
    • r=7 \implies K=11 \cdot 7 = 77
  • K = r \cdot s, r, s \neq 2, 11. 22K = 2 \cdot 11 \cdot r \cdot s. Asal bölenleri 2, 11, r, s (4 tane). Bu durumda bu koşulu sağlamaz.
    Bu durumda, K mutlaka 2 veya 11 asal çarpanlarından birini içermeli, ancak diğer asal çarpanı 2 veya 11 olmamalıdır.
    Yani K=2 \cdot r veya K=11 \cdot r (r farklı bir asal).
    VEYA K = p \cdot p şeklinde olabilir ve p=2 veya p=11 değilse.
    • K = 3 \cdot 3 = 9 (iki basamaklı değil)
    • K = 5 \cdot 5 = 25. 22K = 2 \cdot 11 \cdot 5^2. Asal bölenleri 2, 5, 11 (3 tane). Bu koşulu sağlar.
    • K = 7 \cdot 7 = 49. 22K = 2 \cdot 11 \cdot 7^2. Asal bölenleri 2, 7, 11 (3 tane). Bu koşulu sağlar.
    • K = 13 \cdot 13 = 169 (üç basamaklı)

İlk koşul (“12.K sayısı iki asalın çarpımı biçiminde yazılan bir sayı olup”) K’nın yapısıyla ilgiliydi. Bu ifadeyi “K sayısı iki asalın çarpımı biçiminde yazılan iki basamaklı bir sayıdır” olarak alırsak anlamlı olur.
Şimdiye kadar K için adaylar (1. koşul ile):
K \in \{10, 14, 25, 26, 33, 34, 38, 46, 49, 55, 58, 62, 74, 77, 82, 86, 94\}

Adım 4 — Üçüncü Koşulu Analiz Etme: 28 \cdot K sayısının dört asal böleni vardır.
28 \cdot K = 2^2 \cdot 7 \cdot K.
2^2 \cdot 7 \cdot p \cdot q sayısının dört asal böleni olması için:
Bu sayıdaki asal çarpanlar 2, 7, p, q olmak üzere toplam 4 tane olmalı.
Bu durumda, p ve q asalları 2 ve 7’den farklı ve birbirlerinden farklı olmalıdır.
Yani p \neq 2, p \neq 7, q \neq 2, q \neq 7 ve p \neq q.

Önceki adımda bulduğumuz K adaylarını bu koşul ile eleyelim:

• K = 10 = 2 \cdot 5. 28K = 2^2 \cdot 7 \cdot (2 \cdot 5) = 2^3 \cdot 5 \cdot 7. Asal bölenleri 2, 5, 7 (3 tane). Bu koşulu sağlamaz.
• K = 14 = 2 \cdot 7. 28K = 2^2 \cdot 7 \cdot (2 \cdot 7) = 2^3 \cdot 7^2. Asal bölenleri 2, 7 (2 tane). Bu koşulu sağlamaz.
• K = 25 = 5 \cdot 5. 28K = 2^2 \cdot 7 \cdot 5^2. Asal bölenleri 2, 5, 7 (3 tane). Bu koşulu sağlamaz.
• K = 26 = 2 \cdot 13. 28K = 2^2 \cdot 7 \cdot (2 \cdot 13) = 2^3 \cdot 7 \cdot 13. Asal bölenleri 2, 7, 13 (3 tane). Bu koşulu sağlamaz.
• K = 33 = 3 \cdot 11. 28K = 2^2 \cdot 7 \cdot (3 \cdot 11) = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11. Asal bölenleri 2, 3, 7, 11 (4 tane). Bu koşulu sağlar!
• K = 34 = 2 \cdot 17. 28K = 2^2 \cdot 7 \cdot (2 \cdot 17) = 2^3 \cdot 7 \cdot 17. Asal bölenleri 2, 7, 17 (3 tane). Bu koşulu sağlamaz.
• K = 38 = 2 \cdot 19. 28K = 2^2 \cdot 7 \cdot (2 \cdot 19) = 2^3 \cdot 7 \cdot 19. Asal bölenleri 2, 7, 19 (3 tane). Bu koşulu sağlamaz.
• K = 46 = 2 \cdot 23. 28K = 2^2 \cdot 7 \cdot (2 \cdot 23) = 2^3 \cdot 7 \cdot 23. Asal bölenleri 2, 7, 23 (3 tane). Bu koşulu sağlamaz.
• K = 49 = 7 \cdot 7. 28K = 2^2 \cdot 7 \cdot (7 \cdot 7) = 2^2 \cdot 7^3. Asal bölenleri 2, 7 (2 tane). Bu koşulu sağlamaz.
• K = 55 = 5 \cdot 11. 28K = 2^2 \cdot 7 \cdot (5 \cdot 11) = 2^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11. Asal bölenleri 2, 5, 7, 11 (4 tane). Bu koşulu sağlar!
• K = 58 = 2 \cdot 29. 28K = 2^2 \cdot 7 \cdot (2 \cdot 29) = 2^3 \cdot 7 \cdot 29. Asal bölenleri 2, 7, 29 (3 tane). Bu koşulu sağlamaz.
• K = 62 = 2 \cdot 31. 28K = 2^2 \cdot 7 \cdot (2 \cdot 31) = 2^3 \cdot 7 \cdot 31. Asal bölenleri 2, 7, 31 (3 tane). Bu koşulu sağlamaz.
• K = 74 = 2 \cdot 37. 28K = 2^2 \cdot 7 \cdot (2 \cdot 37) = 2^3 \cdot 7 \cdot 37. Asal bölenleri 2, 7, 37 (3 tane). Bu koşulu sağlamaz.
• K = 77 = 7 \cdot 11. 28K = 2^2 \cdot 7 \cdot (7 \cdot 11) = 2^2 \cdot 7^2 \cdot 11. Asal bölenleri 2, 7, 11 (3 tane). Bu koşulu sağlamaz.
• K = 82 = 2 \cdot 41. 28K = 2^2 \cdot 7 \cdot (2 \cdot 41) = 2^3 \cdot 7 \cdot 41. Asal bölenleri 2, 7, 41 (3 tane). Bu koşulu sağlamaz.
• K = 86 = 2 \cdot 43. 28K = 2^2 \cdot 7 \cdot (2 \cdot 43) = 2^3 \cdot 7 \cdot 43. Asal bölenleri 2, 7, 43 (3 tane). Bu koşulu sağlamaz.
• K = 94 = 2 \cdot 47. 28K = 2^2 \cdot 7 \cdot (2 \cdot 47) = 2^3 \cdot 7 \cdot 47. Asal bölenleri 2, 7, 47 (3 tane). Bu koşulu sağlamaz.

Buna göre, her iki koşulu da sağlayan K değerleri 33 ve 55’tir.

Adım 5 — K Değerlerinin Toplamı
33 + 55 = 88.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 88
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Asal Çarpanlara Ayırma

• Tanım: Bir sayıyı sadece asal sayıların çarpımı şeklinde yazma işlemidir. Örneğin, 12 = 2^2 \cdot 3.
• Bu problemde: 12, 22, 28 sayılarının asal çarpanları belirlendi ve K sayısının asal çarpanları ile birleştirilerek toplam asal bölen sayıları incelendi.

2. Asal Bölen Sayısı

• Tanım: Bir sayının asal çarpanlara ayrılmış şeklinde kaç farklı asal sayı bulunduğudur. Örneğin, 12 = 2^2 \cdot 3 sayısının asal bölenleri 2 ve 3 olmak üzere 2 tanedir.
• Bu problemde: 22 \cdot K sayısının 3 asal böleni ve 28 \cdot K sayısının 4 asal böleni olması koşulları K’nın asal çarpanlarını belirlemede kullanıldı.

3. İki Asalın Çarpımı Biçimindeki Sayılar

• Tanım: Bir K sayısının p \cdot q şeklinde yazılabildiği sayılardır, burada p ve q asal sayılardır (aynı veya farklı olabilir). Örneğin K=10=2 \cdot 5 veya K=25=5 \cdot 5.
• Bu problemde: K’nın bu özellikte olması, olasılıkları daraltmada yardımcı oldu.

SIK YAPILAN HATALAR:

İlk koşulu yanlış yorumlama

• Yanlış: “12 \cdot K sayısı iki asalın çarpımı biçiminde yazılan bir sayı olup” ifadesini 12 \cdot K’nın 2 asal böleni olduğu şeklinde yorumlamak. Bu, K’nın sadece 2 ve 3 asal çarpanlarını içermesini gerektirir ve genellikle iki basamaklı K=p \cdot q koşuluyla çelişir.
• Doğru: Bu ifade, K’nın kendi tanımına aittir (K iki asalın çarpımı şeklinde). Asıl koşullar madde işaretli kısımlardır. Ancak bu soruda “12.K” ifadesiyle birleştirilmesi dilsel bir belirsizlik yaratmaktadır. Yaygın olarak, bu tür sorularda “X.K sayısının Y asal böleni vardır” şeklinde yorumlanır. Bizim çözümüzde bu kısım K’nın tanımı olarak alınmıştır.

K’nın p \cdot q yapısını ihmal etme

• Yanlış: K=p \cdot q koşulunu göz ardı ederek K=2^4=16 gibi bir sayıyı aday göstermek. Bu sayı sadece bir asalın kuvvetidir, iki asalın çarpımı değildir.
• Doğru: K’nın iki asalın çarpımı olması, ya p \cdot q (p \neq q) ya da p^2 (p=q) şeklinde olmasını gerektirir.

Asal bölen sayısını doğru hesaplayamama

• Yanlış: 28K = 2^2 \cdot 7 \cdot (2 \cdot 13) ifadesinde asal bölenleri sayarken 2^2, 7, 2, 13 gibi çarpanları ayrı ayrı saymak.
• Doğru: 28K = 2^3 \cdot 7 \cdot 13. Burada farklı asal çarpanlar 2, 7, 13 olmak üzere 3 tanedir. Kuvvetler asal bölen sayısını etkilemez, sadece farklı asallar sayılır.

Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir asal çarpan sorusu çözmemi ister misin?